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【1881698】教えて下さい。

投稿者: ぶなぴぃ   (ID:PefIxSi/gDk) 投稿日時:2010年 10月 13日 00:42

マッチ棒で正方形を作ります。
例えば、正方形をひとつ作るのに必要なマッチ棒の数は4本。
正方形を2個作るのに必要なマッチ棒の数は12本です。
では、840本のマッチ棒を使って作れる正方形は何個でしょう。


今日、息子に聞かれましたが、表でも作り気長に計算すれば、答えは見つけられそうですが、本番の試験で、それは現実的な解き方ではありません。
何か規則性を見つけて式を立てて計算して求めるのだと思うのですが、恥ずかしながら解りません。
誰か教えて下さい。
よろしくお願いします。

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  1. 【1881998】 投稿者: ぶなぴぃ  (ID:PefIxSi/gDk) 投稿日時:2010年 10月 13日 10:11

    早速教えていただきありがとうございます。
    実は、昨晩書き込んでから長い時間からかい…
    図を書いたり、表を書いたり…
    その結果、一辺に必要なマッチ棒の数をnとして、
    2n二乗+2n
    と いう式を導き出し、
    2n二乗+2n=840

    n二乗+n=410
    (n+21)(n‐20)=0

    n=20、n=‐21
    よって、一辺にマッチ棒は20本必要。正方形は400個という答えを出しました。
    しかし、これを解くのに1時間以上かかり、こんなことでは、実際のテストでは時間が全然たりません。
    こういった問題の場合、何か簡単に規則性を見つける方法とか、コツとか、裏技のようなものがあるのでしょうか?
    知っているかたがいらしたら、引き続きよろしくお願いします。

  2. 【1882028】 投稿者: まあ落ち着いて  (ID:LMtscMOZnR2) 投稿日時:2010年 10月 13日 10:38

    単純に考えてください。

    3×3の正方形を作っている状態を例にとりましょう。

    横の直線は4本です。
    つまり「すきま」を3つ作るためには端を含めて「仕切り」は4つ必要ということで、これは本質的には植木算と同じ考え方です。
    同様に縦の直線も4本です。
    それぞれの直線はマッチ棒を3本つないで作りますので必要なマッチ棒の本数は

    (3+1)×3×2=24(本)となっています。

    一般化すると
    n×nの正方形を作るには

    横に引く直線が(n+1)本、縦に引く直線も(n+1)本必要で、それぞれの線はn本のマッチ棒でできています。

    マッチ棒の本数は

    (n+1)×n×2=2n(n+1)(本)になりますね。

    基本は「1対1の対応を正確に作る」という発想でして、入試問題も含めた初歩的な数学の中では重要なところです。

    裏技などというものはありません。

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