- インターエデュPICKUP
- 最終更新:
投稿者: インターエデュ (ID:inter-edu) 投稿日時:2016年 02月 01日 11:29
こちらは桜蔭中学校の「解答速報2016」専用スレッドです。
今年実際に受験したご家庭はもちろん、
来年以降の受験を予定している方も
今年の入試問題について語り合ってみませんか?
※こちらに書き込まれた内容は、解答速報のページに新着順で表示されます。
-
【4004365】 投稿者: ぱっぷすぎゅるだん (ID:KNGPZG81FfY) 投稿日時:2016年 02月 17日 19:12
別名センターラインの公式とも呼ばれる受験算数の有名なテクニックです。ウェブ検索すれば、これを解説するページが沢山出てくると思います。積分で面積を求めるイメージですね。
ただ、厳密に証明しようと思ったら、高校までの数学では無理なような気がします。 -
-
【4004946】 投稿者: おういんさんへ (ID:ETLiHItsSeU) 投稿日時:2016年 02月 18日 00:36
センターラインの公式気になりますよね?
でも質問のレベルが分かりませんでしたし、それにこういう
公式を理由も分からずに使う習慣をつけてしまうと、きっと
どこかでつまずくと思いましたので、前回はありきたりな
回答を書いてみました。
以下で、解説を試みてみますが、読まずにお子さんが自分で
考えた方がきっと勉強になると思います。
まず、Cの角のまわりで
面積=中心通過する長さ×直径
となることは、直接計算して示すしかなさそうです。
ぱっぷすぎゅるだんさんの計算の再掲ですが、
Cの角の面積=8×8×3.14÷4
中心の通過する長さ=8×3.14÷4
∴ Cの角の面積=中心通過する長さ×直径
となります。
次に、Bの角のまわりで
面積=中心通過する長さ×直径-隅の図形の面積
となることは、もちろん図を描いて分割して計算すれば
確かめられるのですが、よりスマートに次のようにも説明
できます。
まず円が転がるというイメージではなく、円の直径が接点
と垂直な状態を保ったまま移動していくと考えて下さい。
以下直径の通過する面積を考えます。
Aから出発すると16cm移動して点Bの4cm手前まで来ます。
次に90度向きを変えてCまで、やはり16cm移動します。
直径は8cmなので長方形の面積はそれぞれ 16×8cm^2ですが、
重なりが一辺4cmの正方形の分だけあり(その分引かない
といけない)、
2つの長方形に含まれていない部分が半径4cmの4分円の分
だけあります(その分足さないといけない)。
つまり全体の面積は
(16+16)×8-4×4+4×4×3.14÷4
=中心通過する長さ×直径-隅の図形の面積
となります。
いずれの性質も任意の角度の角の周りで成り立つことが
同様に示せます。(前者は180度より大きい方を回る
場合、後者は小さい方を回る場合。)
ちなみにセンターラインの公式は
「任意の曲線に連続的に接しながら円が転がる場合、接点と
垂直な直径が通過する面積は「中心通過する長さ×直径」
に等しい。」
という形に一般化されます。ただし曲率半径が転がる円の
2倍未満の曲線の内側を転がる場合は、Bの角と同様に接点が
ジャンプしてしまうので仮定が満たされないと解釈します。
証明は曲線を折れ線で近似してリーマン和を考える必要があ
るので高校数学の範囲を超えます。
ここまで書いてきて何ですが、この問題は計算さえ工夫すれば
普通に解いても、センターラインの公式を使ってもせいぜい
1、2分しか変わらないと思います。
※普通の解き方
10秒後の円の接点をEとすると、
CE=50-16-16-8×3.14÷4=18-2×3.14
面積 = 4×4×3.14(始めと最後の長方形からはみ出す部分
=円の大きさ)
+16×8+12×8+4×4+4×4×3.14÷4(AからCまで)
+8×8×3.14÷4(Cの角)
+(18-2×3.14)×8(CからEまで)
=(16+12+2+18)×8+(16+4+16-16)×3.14
=8×48+20×3.14
=384+62.8
=446.8
※センターラインの公式を使った解き方
Bの角の通らない部分:4×4-4×4×3.14÷4=16-4×3.14
面積=4×4×3.14(始めと最後の長方形からはみ出す部分
=円の大きさ)
+50×8(センターラインの公式)
-(16-4×3.14)
=400-16+20×3.14
=384+62.8
=446.8
あわせてチェックしたい関連掲示板
"東京都 23区"カテゴリーの 新規スレッド
"東京都 23区"カテゴリーの 盛り上がっているスレッド
"東京都 23区"カテゴリーの 新着書き込み
- 宜しければ算数の偏差値を 2024/04/19 19:31 大変不躾なお願いですが、こちらに通っている皆さんの小学校6...
- やる気のある先生とな... 2024/04/19 14:51 批判的なコメントはご遠慮下さい。本当に私の思ったこと、思...
- 面接の服装 2024/04/19 11:47 こちらの学校を志望している6年生です。 そろそろ面接の...
- いじめや先生の対応に... 2024/04/19 06:47 小6受験生です。 第一志望としてこちらの学校を考えていまし...
- バレー部について 2024/04/18 12:03 こちらの学校に進学を希望している娘がいます。 バレーボー...