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【2460207】『2011年理科一類数学の第一問』の解法

投稿者: アホな母   (ID:qs6bEMhCt1I) 投稿日時:2012年 03月 07日 18:03

東進の過去問データベースを見ていたら、
2011年理科一類数学の第一問だったら、何だか解けそうな気がして、
解いてみました。(血迷いました)

******************************************
座標平面において、点P(0,1)を中心とする半径1の円をCとする。
aを0<a<1を満たす実数とし、直線y=a(x+1)とCとの交点をQ,Rとする。
(1)△PQRの面積S(a)を求めよ。
(2)aが0<a<1の範囲を動く時、S(a)が最大となるaを求めよ。
******************************************

当然というか、やっぱり、ダメでした(笑)
東進の解答を見ると、点と直線の距離の公式から解いています。

私は、△PQRをY軸を挟んで左右に分割して考えた時、
底辺が1-a ←y=a(x+1)とy軸との交点なので、x=0を代入して計算
高さが|Q,Rの座標のxの値|
として考え、
Q,Rの座標は、円の方程式X^2+Y^2=1とy=a(x+1)の交点から求め、
Q,Rの座標のxの値は、(-a^2±1)/(a^2+1)
となりました。
結果、△PQRの面積S(a)は、(1-a)/(a^2+1) となりました。
正解は、√2a(1-a)/(a^2+1) です。
※2aは√の中に入ります。

ただ、途中で、点Qのxの値の絶対値を計算する時、
|(-a^2-1)/(a^2+1)|の所で、-(a^2+1)/(a^2+1)
で、約分されて、結果|-1|=1になってしまい、
これは何だか変だなぁ~、と思ったのですが。
(まずは、ここの絶対値の計算が変なのかと)

そもそも、私の考え方では正解に辿りつかない落とし穴があるのでしょうか?


ただの主婦が血迷って手を付けるような問題じゃない。。のは解ってます。
アホは引っ込んどけ、、という突っ込みはナシで(笑)
ちょっと真面目に、解法の落とし穴について、どなたか教えてください。
お願いします。

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  1. 【2460276】 投稿者: アホな母  (ID:O2ge6TMsoyY) 投稿日時:2012年 03月 07日 18:52

    別のパソコンから書き込んでいるので、ID違うかもしれませんが、
    スレ主です。

    自分で間違いを見つけました。
    円の方程式X^2+Y^2=1
    は、原点を中心とした円の方程式ですね(^^;
    円Cの中心はP(0,1)なので、まずは、ココからやり直しですね。
    やっぱり、アホですね(笑)

    計算しなおします。


    ただ、そもそも、私のやり方には穴があるかどうか、
    なぜ、模範解答のやり方の方が良いのか(単純に楽だから?)
    など、コメント頂けるとありがたいです。

    よろしくお願いします。

  2. 【2460324】 投稿者: アホな母  (ID:qs6bEMhCt1I) 投稿日時:2012年 03月 07日 19:33

    元のパソコンに戻りました。

    円の方程式X^2+(Y^2-1)=1で計算しなおしたら、
    今度は合ってました。
    お騒がせしました。


    ただ、計算、大変でした。

    という事で、模範解答の方が良い理由に、
    「楽だから」以外に何か理由があるようでしたら、
    解説頂けるとありがたいです。

  3. 【2460356】 投稿者: ヤシの実  (ID:n8Rz68x.dls) 投稿日時:2012年 03月 07日 20:10

    ア◯な母さん、すごいですね〜

    その好奇心と熱意はどこから?

    解答はどうなってるか知りませんが、図をかいてPと直線の距離を求めれば、
    と気付くのが昔の受験生かなー

    入試問題としては落とし穴などない素直な問題だと思います。

    でも理系の大学生に必要なのはむしろQとRの座標も求められる計算力だと
    思います。ア◯な母さんすごい!

    むしろ(2)が考えどころかな?この式で最大最小を求めるのは少しつらいので
    また図を利用するのでしょうね。

    ここではQとRの座標を(計算しなくても)考えたほうが早いかも。(やってません。)

    でもこれもほんとうに理系の大学生に必要なのはこのまま最大最小を求める計算力だから、、、
    うーん。

    この問題の意図は(1)(2)で見方を変える柔軟性を見るのかな?

    この程度のヒラメキや柔軟性って大事なのかな?
    東大にはもっと真の実力を見る問題を出して欲しいですね。(エラソーですみませんね。)

  4. 【2460375】 投稿者: 追加独り言  (ID:n8Rz68x.dls) 投稿日時:2012年 03月 07日 20:21

    まじめに考えました。(2)は図を使ってまたまた距離を考えるのがたぶん一番速い。
    ここでも座標にとらわれないほうがずっとはやく解けちゃいます。
    でもなあ。。この程度のヒラメキは大学生としてはあまり要らないと思うのだけど。
    せいぜい高校入試までじゃないかなあ。大学入試では中学までのヒラメキは要らない
    問題の方がいいけどなあ。

  5. 【2460394】 投稿者: しつこくてスミマセン  (ID:n8Rz68x.dls) 投稿日時:2012年 03月 07日 20:33

    (2)図を使わなくても(1)で距離を考えたらそれを使ってあとは式変形でという
    手もありましたな。平均の不等式を使う。これは大学入試らしい。でも思いつくの?
    一応補足。これでオシマイです。

  6. 【2461062】 投稿者: アホな母  (ID:qs6bEMhCt1I) 投稿日時:2012年 03月 08日 11:02

    ヤシの実 さま
    複数のコメントありがとうございます。


    > その好奇心と熱意はどこから?
    いやぁ~、何処から来るんでしょうねぇ?
    この問題を解いてみたのは、本当に、たまたま。。
    こちらの大学は、雲の上の存在、、と思っていますが、
    一体どんな問題が出てるんだ?という、単純な興味で覗いてみたら、
    なんだか、これだったら・・とちょっと思ってしまった。
    血の迷い、というか出来心です。


    でも、最近、数学の問題を解く事は好きです。
    最近流行り?の「大人の学びなおし何とか」でしょうか。
    昔、放り投げてしまった物が、今頃、楽しくなってきた?
    学生時代は、学ばなきゃいけないカリキュラムの順番があって、
    それを身につけなければいけない期日(試験とか受験とか)があって、
    それに追われるだけで終わった気がするんだけど、
    それら全てから解放され、
    興味を持った問題だけ、期日に囚われる事なく取組む時間を与えられたら、
    膨大な計算も苦にならないし、
    解けた時のスッキリ感を心地良いと思うようになりました。


    学生時代にこの感覚を味わっていたら、違う人生が、、と、
    ふと思ったりもしますが、それは、やっぱり、違いますね。
    私の解き方は、泥臭い(笑)
    無駄に根性だけあって、力技で正解まで漕ぎ付けても、
    数学的センスを感じません(^^;
    それに、この解き方じゃ、試験では時間切れになっちゃいますね。
    そこが凡人の主婦で終わった私と、
    こちらのような大学を突破した方の違いなのでしょうね。


    > 解答はどうなってるか知りませんが、図をかいてPと直線の距離を求めれば、
    > と気付くのが昔の受験生かなー

    そうですね。
    模範解答の図を見て、なるほどぉ~と思いました。
    直線QRが円の弦となり、PQ=PR=1(円の半径)なので、
    これは二等辺三角形になり・・
    なので、点Pから直線QRに下ろした線は直線QRに垂直に交わる。
    なので、点Pと直線QRの距離が求める三角形△PQRの高さになる。
    さらに、点Pから直線QRに下ろした線は直線QRを二等分するので、
    △PQRの面積を計算する際に直線QRの長さを出す必要も無くて、
    模範解答は、本当にスッキリとした物でした。
    私の膨大な計算は、何だったんだ?
    無駄に根性と力技で何とかする前に、ここに気づくのが、大事なのですよね。
    良い勉強になりました。
    ありがとうございます。


    (2)の方は、模範解答では、S(a)を2乗した物の半分をf(a)と置いて、
    f(a)=(S(a)^2)/2
    これを微分した物を変形して条件より整理し、増減表を書いて求めていました。


    > 平均の不等式を使う。
    そんな方法もあるのですね。
    『S(a)を2乗した物の半分をf(a)と置いて』の部分が、
    なぜ???これはどういう根拠から???何のテクニック???
    だったのですが、
    同じ物を2個かけて2で割っているので、
    「平均」を使う考え方の延長なのかもしれませんね。


    (1)の問題は力技でも何とかなりますが、
    (2)の問題の方が、そうは行きませんね。
    さすがに、(1)で導いた面積の式をこのまま微分するのは、
    ただの主婦には無理です。
    でも、無謀にも、いろいろ、考えはしたんですよ(笑)
    分母を分解して、もう少し計算楽にならないか?とか、
    或いは、分子>分母、分子=分母、分子<分母の各場合で、
    最大になるのはどの場合か?を考えたり。
    分子>分母の場合が最大と考えて、
    その不等式を解こうと思ったりもしましたが、
    さすがに、行き詰りました(^^;


    > この問題の意図は(1)(2)で見方を変える柔軟性を見るのかな?
    なるほどぉ~。。
    出題の意図まで考えた事はありませんでした。


    私も息子も、こちらの大学にはご縁は無い凡人ですが、
    子供は多分理系を目指したいようです。
    今中学生で、中学受験はしていないので、
    これから高校受験なのですが、
    私に似て、無駄に根性があるので(笑)、
    力技で突っ走って何とかしようとします。
    力技で突っ走る前に、
    もうちょっと他に方法が無いか?
    考えて解答するようにしていかないと、いけませんね。
    まぁ、その前に「ひらめき」が起きなきゃ、、ダメですが。


    大変勉強になりました。
    ありがとうございました。

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