かける数とかけられる数｜掲示板スレッド

＞５＋５＋５について5を3回足すと考えるのか、3回、5を足すと考えるのかという
初歩的な言語表現、思考過程の違いについて申しているのですが、どこが間違っているのですか？

「数値の掛け算という計算」のときには順序は問題ありません。
ですので，ご指摘のとおりで，掛け算する二つの数値を交換して，なんらかまいません。
ａ×ｂ＝ｂ×ａです。ただし，慣習的に使われているように，ａ×ｂのａやｂは「任意の定数」です。
特定の数値ではなく，「ある量」がその取り得る値のすべてを代表する数：「定義域で変わる変数」と考えるとき，
二つの異なる変数間の関係を論ずるときに，外延量とか内包量とか掛け算の順序が問題になるのです。

一つのお皿にリンゴが５個のっていて，３皿あるとき，６皿あるとき，・・おのおのリンゴは全部でいくつありますか？
このときは，５「個/皿」×３「皿」＝１５「個」，５「個/皿」×６「皿」＝３０「個」，です。
独立変数が「皿の数」，従属変数が「リンゴの数」，一般化して，Ｎ皿では，５×Ｎ「個」です。
係数は，単位量が１「皿」で，「１皿あたり５個」が「単位量あたりの量」＝５「個/皿」ですね。
ただ，5を3回足すと考えるのと、3回、5を足すと考えるのは同じです。日本語表現的か英語表現的かの違いでしょう。
一人が５本の鉛筆を持っていて，人が３人がいるとき，鉛筆は全部で何本あるか？
５「本/人」×３「人」＝１５「本」・・・と考えるかわりに，
おのおのの人が，１本ずつ鉛筆を袋に入れると，全員では１袋に３本入れることになる。
これを続けると，５袋に鉛筆を入れることができるから，３「本/袋」×５「袋」＝１５「本」とも考えられる。
数値では，５×３と３×５と順序が逆ですが，どちらも，「単位量あたりの量」×「単位となる量の倍数」ですので，
乗算の順序は概念的には同じです。数値が異なるのは，単位量が「人」か「袋」かの違いが原因です。

Vp4Xrp7u4jgさんは、３回５を足すと考えるのが何で悪い！と、何だか意地になっていらっしゃいますね。
別にご自分が思うだけでしたらいいと思いますよ。

でも結局、言葉を逆にしているだけのこと。
何がいくつあるの？といえば、５が３かたまりあるわけでしょ？
子ども達がイメージする像をご自分でお考えになったことがおありですか？
屁理屈じゃないんですよ。
分かりやすく伝えるということなんです。
日本語は逆にしてもそれで通じてしまう言語です。
だからといって、そんなの何でもいいんじゃないか！ではないと思います。
本質までが違ってきてしまうようでは困ると思います。


教条主義でも何でもないですよ。
何だかとても意地になっていて、議論が変です。



アメリカ在住さんも、アメリカでは語順が違うからこそ順序は逆だけど、ちゃんと統一して、式の意味を考えているとおっしゃっていますよね。
ぐちゃぐちゃではないと。
以前、花鳥風月さんでしたっけ？びしっとそう同じことをおっしゃっていましたっけ！



「5を3回足す」でも「3回、5を足す」でもどうでもいいじゃないか！」
そうそう、最初のスレ主さまのご主人やVp4Xrp7u4jgさんのようなタイプの方は、皆さんそうおっしゃいますね。
そうなんです。ご自分はそれでいいとおっしゃる。
でも、子ども達に伝えるには、それでは伝わらないんですよ。
何がいったいいくつ分あるのか、絵に描いてあらわした際、何種類も出てくるようでは混乱のもとになってしまうんです。

ご自分の主義は主義として、お持ちになるのは自由です。
でも、将来ある子ども達のためにと思えば、少しでも子ども達がイメージしやすいようにと、考えてあげたくはなりませんか？


昨日、花まる学習会の高濱先生の講演会を聞いてきました。
なぞべ～も買ってきました。
考え方は絶対に妥協してはいけないと。
すじみちは大事にしなければならない。


あらためていろいろい感じて考えさせられて帰ってきました。

もう少しいろんな本を読んでみたいと思っています。

前回通りすがりに、円周は直径×円周率なのか、
円周率×直径が正しいのか尋ねた者です。


「どろんこ」さんのお答えは、「直径×円周率と教えるが
率の問題になったら順序にこだわるのは屁理屈っぽい」、
ということですね。
でもちょっと不思議なのは、
１箱に１０個りんごが入っていて１５箱、なら絶対
１０×１５＝１５０（個）
だけど、１０％の食塩水１５０ｇの場合は
１５０×０．１＝１５（ｇ）
でよいという点です。１ｇつき０．１ｇ食塩が含まれている
わけだから、
０．１×１５０＝１５（ｇ）
の方が一貫しているような気がします。
でも、これは屁理屈だというお考え、一応わかりました。


一方、aReYIwQVM/Yさんは一貫していらっしゃいます。
直接お答え頂いてはいませんが、ご説明からは当然
円周率×直径が正しい、順序を入れ替えてはいけない
という結論になろうかと思います。
でも、教科書には直径×円周率と書いてあったような
気がします。きっと私の記憶か教科書が間違っている
のでしょうね。


やっぱり算数はよくわかりません。
数学は多少理解しているつもりなんですが。

＞直接お答え頂いてはいませんが、ご説明からは当然
＞円周率×直径が正しい、順序を入れ替えてはいけない
＞という結論になろうかと思います。
＞でも、教科書には直径×円周率と書いてあったような
＞気がします。きっと私の記憶か教科書が間違っている
＞のでしょうね。
最終的には，私は円周率×直径，としたいのですが，
実際にはそうはなっていません。
ご記憶のとおり，教科書は直径×円周率です。
・・・・・・・・・
相似な図形を中学３年生で習う現行学習指導要領の中で，
円周の長さと円の直径との比が，任意の円について一定の数値になること。
これを，そもそもどう理解させるのか？
面積は比例関係にはなく，円周は比例関係にある。その違いはなぜか？
いろいろな大きさの円を描かせて，糸を周に沿わせてみて，その長さを測ってみて，
その長さが直径の約３倍であり，その値は円の大きさにはよらない「らしい」と
実験させることはできるでしょう。
正３角形や正方形で，辺の長さの３倍や４倍が周囲の長さあることから，
正８角形や正１６角形，・・・・・・，どんなに辺の数が多くても，
周囲の長さは辺の長さに比例することはわかるでしょう。
辺の数が無限大になれば（これは抽象度が高く，ブレークスルーが必要），
正多角形は円になるはず。・・・本当にそうなるかどうかは，高校範囲でしょう。
円とそれに内接する（小学校での表現は別として）六つの正三角形を使って，
その一定の数値が３に近くて少し大きい値であることを示すことが行われます。
そして，その数値は数字が無限に続く数（これも抽象度が高い）であり，
3.141592･････，小学校ではおよそ3.14であると教えているはずです。
・・・・・・・・・
積の順序は，円周の長さ＝直径×円周率，と小学校では教えることになっています。
これは，「単位量あたりの量」が６年生に配当され，円周率が５年生に配当されていため，
倍率を後ろに置くという，数値の計算での直感的な示し方からくるものと理解しています。
しかし，中学校では円周長＝２・π・ｒに訂正されます。
「単位量あたりの量」を習い，「一次関数」も新たに習っているからです。
しかし，角度の表し方としての弧度法（ラジアンでの表記）はまだ習っていません。
円弧長＝ｆ（θ，ｒ）と捉える（角度と半径の二つの変数の関数と考える）と，
円弧長＝ｒ・θ（角度を独立変数として考えたとき，半径はパラメータ）
円弧長＝θ・ｒ（半径を独立変数として考えたとき，角度はパラメータ）
と変わりますが，「係数×独立変数」の順序となるように書くことになるでしょう。
角度をパラメータとして考え，θ＝２・πのとき，円弧長は円周長となって，２・π・ｒです。

むかしむかしの話です。
小学生に一生懸命に算数を教えているおじいさんがおりました。
掛け算、割り算の文章題が苦手な子供にどのように教えてあげようかと思案していたところ、どうやら「単位あたりの数」の理解が不明確であるために、つまづきいていることがわかりました。
ほかのこどもたちにも　よくよく聞いてみると、ちゃんと理解しているこどももいれば、わかっているようでも　よくわかっていないこどももおりました。
おじいさんのこれまでのペーパーテストでは、みんなそれなりの点数を取っていたので　理解していると思っていたのでおじいさんはがっかりしてしまいました。
そこで「単位あたりの数」が、きっちりわかっているかどうかをペーパーテストで知るために、「かける数」と「かけられる数」を式に書くときの順番を決めて書かせることにしました。
テストで書く順番を間違えたこどもは、「単位あたりの数」の意味がわかっていないものとして丁寧に教えてあげるようにしたところ、子供たちの理解度は各段に増しました。

同じように算数を教えていた意地悪爺さん、
自分の教えている子供たちより　そこで習っている子供たちの方が算数の成績がよくなっていくのが不思議でなりません。
そーっと覗いてみると、掛け算の「かける数」と「かけられる数」の順番を決めて書かせているではありませんか。
負けてなるものかと、まねをして教えることにしました。
ところがこの意地悪爺さん、「単位あたりの数」も交換法則もちゃんと理科視している子供にまで書き順を守ることを強制したものですから、算数嫌いのこどもがいっぱいできました。
めでたしめでたし。






もちろんこれは、根も葉もない中傷です。


でもこの下は、本当の話です。

演算において交換法則の成り立つものは少数派です。
数値の乗法が交換法則の適応可能な演算であると理解して、
適宜入れ替えができるこどももおります。
より数学的に深い理解に達していると評価してあげましょう。



理解しているからこそ、順番から開放されるのです。

この順番は日本語の順番であり、日本のローカルルールです。
算数のローカルルールにはほかにもいろいろありますが・・・

結局、皆さん概念を正しく理解することが重要、
という点は一致していますが、かけ算の順序についての考え方は
それぞれ違っていらっしゃるわけですよね。
だからこそ、中学入試の際に特定の順序でなければ減点する、
ということはすべきではないし、実際まずないように思われます。
仮にかけ算の概念を理解しているかどうかをチェックしたければ、
それがわかる問題を出題すれば済むことです。
逆にかけ算の順序で理解度をチェックするのが不適当であることは
これまでの議論から明らかでしょう。


私自身は、「日本の小学算数のローカルルール」さんのおっしゃる
通りだと思います。
数学というのは、具体的なものを抽象化して扱う学問です。
いったん抽象化してしまえば、もともとそれが何だったか、
何を意味していたかは、しばしば敢えて問わないのです。


そして同じかけ算でも、整数のかけ算に比べると、
小数・分数のかけ算はやや抽象度が高くなります。
２×３なら２が３つあつまったもの、と言えますが
２×０．３になるとそういう言い方はできなくなります。
同様に、２＾３（２の３乗） は２を３回かけること、
と理解していたのでは、２＾（－０．５）＝１／√２ は理解できません。
たぶん、「どろんこ」さんのご意見は「抽象度が高くなると
順序にこだわる必要はない」という意味であって、
そうだとするとその通りだと思います。


別の例を挙げましょう。算数で「面積図」というのがありますよね。
たとえば食塩水の濃度を縦軸の長さ、食塩水の重さを横軸の長さで
表すと、溶けている食塩の量が面積で表される、というやつです。
これは食塩水にかぎらず、つるかめ算でも、旅人算でも
多くのものに使えますが、このとき、（速度）×（時間）＝（進んだ距離）
といった関係を抽象化して、長方形の縦×横＝面積という関係と同一視
しているわけです（同様のことを数学でよくやります）。
そして、いったん面積を求める問題に置き換えてしまえば、
縦×横だろうが横×縦だろうがどちらでもいいわけで、
縦が１匹あたりの足の数だから縦×横と書かないとまずい、
などと考えていたら、面積図のありがたみが大きく減ってしまいます。


もし、面積図を使ってつるかめ算を解いた受験生が、（頭数）×（足の数）
という順序の式を書いたら、どう評価されるんでしょうかね。
図が書いてあればOKだけど、式だけなら減点？（整数ですし）
もしaReYIwQVM/Yさんが採点者なら減点しそうですねえ。
まあaReYIwQVM/Yさんのお考え自体は、一貫していてある意味気持ち
いいんですけどね。

・・・・・私が前に挙げた例です。
＞電車が等加速度運動をして，速度ｖ＝ｋ・ｔで変化し，
＞その後は一定速度で，その後減速して停止するといった問題。
＞移動距離をｖ－ｔ平面のグラフの面積で求めるといった問題が中学入試で出題されます。
・・・・・ご指摘の例です。
＞別の例を挙げましょう。算数で「面積図」というのがありますよね。
＞たとえば食塩水の濃度を縦軸の長さ、食塩水の重さを横軸の長さで
＞表すと、溶けている食塩の量が面積で表される、というやつです。
＞これは食塩水にかぎらず、つるかめ算でも、旅人算でも
＞多くのものに使えますが、このとき、（速度）×（時間）＝（進んだ距離）
＞といった関係を抽象化して、長方形の縦×横＝面積という関係と同一視
＞しているわけです（同様のことを数学でよくやります）。
・・・・・私が書いたものです。
＞そこでは，小学生の「比例の式」から大学生の「積分」まで，距離＝∫ｖ（ｔ）ｄｔであって，
＞速度を時間で積分することにかわりはありません。
・・・・・・・・・・・
中学入試問題にしぼって述べますと，ズバリ，面積図で表すのが，
「単位あたりの量」が縦軸の値をとり，横軸が独立変数となる問題です。
・・・・・中学入試問題の例
電車はＡ駅を出発してから，一定の割合で加速して時速６０ｋｍとなり，その速さで５分間走った。
その後，こんどは一定の割合で減速して，Ａ駅を出発してから１１分後にＢ駅に着いた。
Ａ駅とＢ駅の間の距離は何ｋｍですか。
・・・・・
秋子さんは家から5km離れた公園まで歩いて行った。
はじめ時速6kmの速さで歩いていたが，疲れたので途中で2分間休けいし，その後は時速4kmの速さで歩いたところ，
出発してからちょうど１時間で公園に着いた。秋子さんが休んだ地点は家から何kmのところですか。
・・・・・
前者の例が，関数のグラフが台形となる例で，後者が階段状となる例で，どちらも縦軸を速さｖに，横軸を時間ｔにします。
速さが任意の関数で変化しても，ｖ－ｔ平面のグラフの面積が移動距離になることが理解できたら，相当デキルと思います。
・・・・・
＞まあaReYIwQVM/Yさんのお考え自体は、一貫していて
これは，そもそも私の考えではなく，３０数年前に「高橋；基礎工学セミナー」で学んだことです。
・・・・・・
小学校2年生のお子様のお話から，かなり隔たったところまで話が進んでしまいましたが，
数値，ある定数，任意の定数，変数，これらの違いが不明確なまま，高校数学まで進んでしまっている気がします。
高校数学の参考書のシリーズの「長岡；本質の研究，旺文社」にも，そのことが少し書かれています。
確かに，細かいことまでお子さんに注意するのは，算数ぎらいになってしまう危険があり，やめたほうがよいかもしれません。

数学というのは、具体的なものを抽象化して扱う学問です。
いったん抽象化してしまえば、もともとそれが何だったか、
何を意味していたかは、しばしば敢えて問わないのです。

そして同じかけ算でも、整数のかけ算に比べると、
小数・分数のかけ算はやや抽象度が高くなります。
２×３なら２が３つあつまったもの、と言えますが
２×０．３になるとそういう言い方はできなくなります。
同様に、２＾３（２の３乗） は２を３回かけること、
と理解していたのでは、２＾（－０．５）＝１／√２ は理解できません。
たぶん、「どろんこ」さんのご意見は「抽象度が高くなると
順序にこだわる必要はない」という意味であって、
そうだとするとその通りだと思います。

↑
ヘキサゴンさんの上記の意見に私も同意します。

算数から数学になり、数を抽象化して考えるようになれば、順序にこだわってはいられない。
当然もっと柔軟に数というものを考えていく必要が出てきます。



私が再三言っているのは、小2の子どもが、かけざんを学ぶ際にどう学ぶかということについてです。
数学を究めた方(理系)の方が、よく、「かける数でもかけられる数でも、かける順番などどちらでもいいんだ！」と主張されるのは、小2の頃の思考回路を、お忘れになってしまっているからだと思います。
数学を究められた数学者の方であっても、子どもの発達段階に応じて、的確に指導できる人もいるのに。


私は数学の専門家ではなく、小学生の教育の現場にいて、いろいろな子ども達と一緒に、同じ目線でさんすうとつきあってきたため、子ども達の反応を考えながら、レスを書いてきました。


「終わってるようですが」さんは、しつこく3回も中学受験だったら数学につなげるという意味で、別に順序にこだわらなくてもいいじゃないか！と書いていらっしゃいますが、中学受験だからこそ、中学の先生としては、しっかりと思考力のある子どもを取りたいのではないでしょうか？



先日、ある塾の説明会で、はなまる学習会、なぞべ～の高濱先生の講演を聞きました。

中学入試は、どんどん記述問題が増えているそうですね。
採点するほうだって大変なのに、どうしてそこまで記述式がエスカレートするのか・・・
中学で数学を学習するにあたって、小学校でしっかり算数を学習してきた子ども達を取りたいのであって、小学校すでに数学のノウハウまで勉強してきた子どもを取りたいわけではないように私は思います。



小2の頃の思考回路を想像しながら、そこまで目線を下げて考えてみれば、スレ主さんの旦那さんのような発言にはならないように思います。


子どもの思考回路自体が成長するにしたがってだんだん抽象化していく・・・。
それにあわせて、指導内容もしだいに抽象化していく。


2年生というのは、国語で習う漢字すら、まだ抽象的なものはあまり出てきていないんですよ。手に取れるもの、目で見れるものが多いんです。
3,4年の漢字くらいから、次第に抽象的な漢字が登場します。
だから、3,4年の漢字でつまずく子が多いと言われています。
そのくらい、小学2年生というのはまだ試行回路自体が抽象化されていないんです。
だからこそ、大人から見れば、「そんなのどっちでもいいじゃん！」ということ
が、そうではなかったりすること多いですよね？

最初のスレ主さんのだんなさまには、お子さんを混乱させずに、温かく見守って欲しいなと希望します。
担任の先生のおっしゃることと、親の言うことがまっこうから違うと、子どもは動揺しますからね。


「算数のローカルルール」については、語順がそうなんだから、お国によって違うこともありえますよね。
概念は違わないのですが。
そして、私達は日本に住んでいます。
日本の子ども達に伝えようとしているのです。


概念が確立され、それが次第に抽象化されて数を極めていく過程のなかで、数というものがしっかり見えてくる。
私は子どもはゆっくり見届けたいな。

そういえば、そういった概念を身につけることを経ないで、くもんなどで先取りをして高校数学まで勉強している幼稚園児、小学生は、指導する際、どのような留意点があるでしょうか？
もちろん我が家は全くそういう教育はしておりませんが・・・・。



そういう子を何人も教育の現場で指導したことがございます。
いくら「かける数　かけられる数」などと申しましても、全く聞こうとしない。
そんなのどっちでも同じじゃん、つまらないの一点張り。
文章題でも、かけざんだったらかけざん、出てきた順にただ立式して答えを出すだけ。
「どう考えてそういう式をたてたの？」と聞いても、ただ「だってかけざんにすればいいんでしょ！」だけ。何も考えていないし説明もできない。
当然、不正解。
それでもそれでいいんだの一点張り。
算数の成績は、当然ふるわない。
思考力を問われる問題が軒並み低い。
文章題はお手上げ。
そうすると、通知票の中の「数学的考え方」の項目の点数が低くなってしまうんです。
何だか皮肉ですね。
既に数学を学んでいるというのに。