かける数とかけられる数｜掲示板スレッド

呑助殿

こりゃまた偶然ですね。
「我思う、故にわれあり」のデカルトだったとはっ！ お仲間だったんですね。

神の存在を証明してしまったよう人ですから、ちょっとあてにならないところも気がしますがね・・・
デカルトが長方形（格子）を直積で定義したことと、直積で定義しなければならないことは別物ではないですかね？

まあ、神様も自分も尋ねているように、何と何の集合の直積が解説してください。デカルトの説明なんか手に入らないので。

＞この　ギャクシツモン　の意図は　 テイギがないのに　 チョーホウケイに並べる と言っても　　意味が無い　ってことに　キヅイテモラウ　こと。


長方形(格子）とは何か？というのは、３＋４って何？というレベルと同じで定義というよりは概念のような気もするんですけれどね（自信はないけれど）。デカルトは一つの定義を与えようとしただけでは？
長方形を定義するということを現代数学的に記述することは容易ではないな、だから、任意の順序で数える、とうアイデアを持ち出したのだけれど、そこが明確でないのでお尋ねしたんですがね・・・やはり難しいですか。


つまるところ、前から使っている言葉、”自然科学”では長方形は縦横の区別なく存在するし、順序の関係ない積が存在するも、人間（＝数学）の言葉ではどうもそこが表現できんっ、ということですかね。


＞Ｆ（ｘ, ｙ）　と書いたら　その記法において　順序がある　
ってことだな。

これは単なる表記上の問題ですね。定義するときにF(x,y)≣F(y,x)と定義すればいいだけ。

全てに順序がなければならないというのは特殊な世界ですね。

牛３頭と馬4頭で合わせて何頭？　単に牛を先に書いただけで、牛と馬は対等。
風速（W）15m/sと気温（T）10度で何パーセント（P)の人がコートを着る？
P=f(W,T) 単にWを先に便宜的に書いただけの話。

かけうどんさんの翻訳を見ると、呑助＠深夜食堂氏は
3×5=5×3
これが誤りだと思っているように見える。

呑助さん

ちょっと混乱したようです。
これでどうですかね。

2つの集合A, Bからなる直積集合Xm,n=｛（a,b）｜a∈A, b∈B}を考える。
ただし、A＝{1,2,3・・・m}, B={1,2,3・・・n}
m,n は自然数

ここで集合Xm,nと集合Xn,mの間には全単射が存在する。すなわち、
Xm,nの要素(a,b)とXn,mの要素(b,a)を一対一で結びつければよい。

そこで,2つの自然数m,nの乗法ｘを集合Xm,n, Xn,mの要素の数であると定義する。

定義からm x n ≣ n x m ≣ 直積集合Xm,n、Xn,mの要素の数
つまり、定義で順序を規定していない。

もう一発。

２つのベクトルa,bの内積

(a,b)=|a||b|cosθ

は明らかに順序を意識していない定義。

2つ前の書き込みを別の言葉で述べてみます。

長方形の格子を数えることによって、順序を定めない乗法m x n ≣ n x mが定義できるか、という問いに対し、

呑助さんは、長方形を数学的に考えるときは、1段にm個の格子をｎ段積み上げる、という縦、横の概念は取り去ることが出来なので、順序を定めない乗法の定義は不可能、と主張されているのだと思います。

そこで、m行n列の長方形とn行m列の長方形を同時に考えます。
その格子の位置を(2，3)などと表してみます。例えばm=3、n＝5の時、2つの長方形を1対1で対応付けます。

（1,1)←→(1,1)
（1,2)←→(2,1)
（1,3)←→(3,1)
・・・
（3,5)←→(5,3)

1対1の対応が付くので、2つの長方形の格子の数は同じになります。
そこで、乗の法の定義を
m行n列＝n行m列の長方形の格子の数＝mxn=nxm と定義することができる、と主張しているのです。

つまり、５＋５＋５と３＋３＋３＋３＋３の和の比較を避け、つまり、交換法則を回避し、2つの長方形は1対1対応なので、格子の数は同じであることから、順序付けのない乗法を定義した、という意味です。穴があるかな・・・

>これはある種の関数ないし写像f(x,y)にはx,yの順序があるのだから、順序のない関数、写像f(x,y)は定義してはイカン！と言っているようなもんです。
>
私なんぞの話を、こんなに難しく理解していただいてありがとうございます(^^;
ですが、私がいいたかったのは、こんな難しい話ではなく（この例えが合っているのかさえも判別できません(^^;）、
わりざんの式では「わられる対象（数）」と「わる数」が左右いずれに来るかによって異なる「意味」になるのに、かけ算には「かけられる対象（数）」「かける数」がどちらであっても何故「意味」は変わらないのか？と問うたのです。

例えば、
　饅頭が全部で15個。ひと箱に3個入ってる。箱はいくつ？
という問題においては、「わられる対象（数）」は15個、「わる数」は3ですよね？
で、式では「15個÷3」と書く訳です。

「3÷15個」と書いたらバツですよね？
これが何故バツなのか？ということです。

かたや、
　饅頭がひと箱に3個。箱は5つ。全部で何個？
という問題においては、
「かけられる対象（数）」は3個、「かける数」は5です。
で、式は「3個×5」が正解だと思うのですが、
何故「5×3個」も正解なのでしょうか？

わり算においては、「わられる対象（数）」÷「わる数」と定義することはよくて、
かけ算において、「かけられる対象（数）」×「かける数」と定義することはよろしくないというのは何故なのだろう？という素朴な疑問です。

「わり算とはそういうもの、かけ算とはそういうもの」という答えでも構わないですが、出来れば「数学の定義には適用範囲はない！」という話も踏まえてお話いただければ幸甚です。

話をすり替えた訳ではなく、素人の「自然な疑問」です。
あしからずm(__)m

ちゃんと答えてもらえるかなぁ？(^^)

P.S. 呑助＠深夜食堂さん、いろいろとありがとうございますm(__)m

>
＞饅頭３個には　５　をかけることが　出来るが　５に　饅頭３個をかけることは　
　出来ない。
　だけど自然数３には　５　をかけられるし　５に　３をかけることも　出来る。
　それで　交換法則　３×５＝５×３　が成り立つ。
＞もしかして、かけうどんさんはこの二つの話の違いが理解できていないのですか？
　それとも、この二つの話に違いはないと言ってます？
これに　答えるベキ　だと思うね。
>
私もそう思います。

人のレスを「問題のすり替え」とか言う前にね!(爆)

＞「かけられる対象（数）」は3個、「かける数」は5です。
＞かけ算において、「かけられる対象（数）」×「かける数」と定義する

ここは明らかに混乱していますよ。ａ×ｂにおいて、ａはかけられる数、ｂはかける数、と名前が付いているのです。3×5では3がかけられる数、5×3では5がかけられる数。そう呼ぶだけです。