小学６年からチャレンジするか

今の断片的な情報では、中学受験の是非を語る以前の問題です。

まず、お子さんの「高校受験への不安」の正体を明確にすべきでしょう。中学受験はただの「現実逃避」の手段になりかねません。

そもそも、中学も高校も通過点に過ぎません。将来の大学進学まで見据えた際、今の学力で中堅校へ滑り込むのが得策なのか、高校受験で上位校を狙う方が合理的か、長期的な視点での設計が必要です。

「選択肢がない」と嘆く前に、まずは数年先の「出口」まで含めた親子間の意思疎通を行うべきです。着地点が不明瞭なままでは、どのようなアドバイスも無意味でしょう。

高校受験への不安というのは、内申点が取れそうにないとかでしょうか（5教科or副教科）。
今は高校受験も大学受験も、私立であれば、当日の点数一発勝負ではない入試（推薦系）も選べるので、受験そのものに対する不安は回避できる方法はります。

ただ、今からの受験勉強で桃山学院中の選抜コースにいけるといわれているなら、それなりに学力はあるのだと思うので、限られた受験勉強期間で、中途半端な学校に入ってしまい、かえってその先の進路を狭めてしまうのはもったいない気もします。

桃山と同じような学校では、常翔とかも候補になるでしょうか。
あとは関大や立命の付属校とか。

市内南部だと通いやすさでは桃山が圧倒的かもしれないですね。

とにかく出来ることを頑張って、年末の時点で行ける学校を選択すればよいかと思います
公立中学は基本無駄な学習なので、入れる私立に入って、そこで楽しく過ごすのが一番いい出口につながると思いますよ。
公立か私立かで悩むのはお金がない人の論理なので、今は私立高校の学費は無償化なので
小金があって中学の学費出せるなら、迷うという選択肢はないと思います。