桜蔭中学校の解答速報2016｜掲示板スレッド

別名センターラインの公式とも呼ばれる受験算数の有名なテクニックです。ウェブ検索すれば、これを解説するページが沢山出てくると思います。積分で面積を求めるイメージですね。
ただ、厳密に証明しようと思ったら、高校までの数学では無理なような気がします。

センターラインの公式気になりますよね？
でも質問のレベルが分かりませんでしたし、それにこういう
公式を理由も分からずに使う習慣をつけてしまうと、きっと
どこかでつまずくと思いましたので、前回はありきたりな
回答を書いてみました。

以下で、解説を試みてみますが、読まずにお子さんが自分で
考えた方がきっと勉強になると思います。

まず、Cの角のまわりで

　　面積＝中心通過する長さ×直径

となることは、直接計算して示すしかなさそうです。
ぱっぷすぎゅるだんさんの計算の再掲ですが、

　 Cの角の面積＝8×8×3.14÷4
　中心の通過する長さ＝8×3.14÷4
　∴　Cの角の面積＝中心通過する長さ×直径

となります。

次に、Bの角のまわりで

　　面積＝中心通過する長さ×直径－隅の図形の面積

となることは、もちろん図を描いて分割して計算すれば
確かめられるのですが、よりスマートに次のようにも説明
できます。

まず円が転がるというイメージではなく、円の直径が接点
と垂直な状態を保ったまま移動していくと考えて下さい。
以下直径の通過する面積を考えます。
Aから出発すると16cm移動して点Bの4cm手前まで来ます。
次に90度向きを変えてCまで、やはり16cm移動します。
直径は8cmなので長方形の面積はそれぞれ 16×8cm^2ですが、
重なりが一辺4cmの正方形の分だけあり（その分引かない
といけない）、
２つの長方形に含まれていない部分が半径4cmの4分円の分
だけあります（その分足さないといけない）。
つまり全体の面積は

　 (16+16)×8－4×4＋4×4×3.14÷4
　＝中心通過する長さ×直径－隅の図形の面積

となります。

いずれの性質も任意の角度の角の周りで成り立つことが
同様に示せます。（前者は180度より大きい方を回る
場合、後者は小さい方を回る場合。）

ちなみにセンターラインの公式は

「任意の曲線に連続的に接しながら円が転がる場合、接点と
　垂直な直径が通過する面積は「中心通過する長さ×直径」
　に等しい。」

という形に一般化されます。ただし曲率半径が転がる円の
2倍未満の曲線の内側を転がる場合は、Bの角と同様に接点が
ジャンプしてしまうので仮定が満たされないと解釈します。
証明は曲線を折れ線で近似してリーマン和を考える必要があ
るので高校数学の範囲を超えます。

ここまで書いてきて何ですが、この問題は計算さえ工夫すれば
普通に解いても、センターラインの公式を使ってもせいぜい
1、２分しか変わらないと思います。

※普通の解き方
10秒後の円の接点をEとすると、
CE＝50－16－16－8×3.14÷4＝18－2×3.14
面積 ＝ 4×4×3.14（始めと最後の長方形からはみ出す部分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝円の大きさ）
　　　＋16×8＋12×8＋4×4＋4×4×3.14÷4（AからCまで）
　　　＋8×8×3.14÷4（Cの角）
　　　＋(18－2×3.14)×8（CからEまで）
　　＝(16＋12＋2＋18)×8＋(16＋4＋16－16)×3.14
　　＝8×48＋20×3.14
　　＝384＋62.8
　　＝446.8

※センターラインの公式を使った解き方
Bの角の通らない部分：4×4－4×4×3.14÷4＝16－4×3.14
面積＝4×4×3.14（始めと最後の長方形からはみ出す部分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝円の大きさ）
　　　＋50×8（センターラインの公式）
　　　－(16－4×3.14)
　　＝400－16＋20×3.14
　　＝384＋62.8
　　＝446.8