かける数とかけられる数｜掲示板スレッド

教育者でもない素人が解説するのは適切ではないので参考書を提示しましたが，購入も難しいでしょうから補足します。
小学校学習指導要領：http://www.nicer.go.jp/guideline/において，
「算数：第６学年」の「２　内　容」の「Ｂ　量と測定」のところで，
（3） 異種の二つの量の割合としてとらえられる数量について，
　その比べ方や表し方を理解し，それを用いることができるようにする。
ア 単位量当たりの考えなどを用いること。
イ 速さの意味及び表し方について理解するとともに，
　速さの求め方を考え，それを求めること。
・・・・・と示されています。
ここで，異種の二つの量の割合としてとらえられる数量として「単位量当たりの考え」が導入され，
その例として「速さの意味及び表し方」を学ぶことになっています。
「異種の二つの量の割合としてとらえられる数量」を「内包量」と呼びます。
例えば，「速さ」，「密度」，「一皿に載せるリンゴの数」です。
内包量には加法性がありません。つまり，５％の食塩水と６％の食塩水を足して１１％とはならない。
これに対し，長さ，重量，体積などの「量」は「外延量」と呼びます。
外延量には加法性があります。つまり，５ｋｇの食塩水と６ｋｇの食塩水を足せば１１ｋｇです。
「内包量」＝「外延量」÷「外延量」であり，
小学校で登場する掛け算には，
「外延量」＝「外延量」×「外延量」・・・例：面積＝底辺の長さ×高さ・・・掛け算の順番を逆にすることもできる
「外延量」＝「内包量」×「外延量」・・・例：距離＝速度×時間・・・掛け算の順番を逆にすることはできない
の二つがあります。ただし，面積(外延量)がいつも「外延量」×「外延量」であるとはかぎりません。
明確な用語を用いてはいませんが，第６学年でこれらの「量に関する概念」を，学ぶわけです。
・・・・・
例えば，お酒を測るとき，四角い枡で５枡分あるから，５「合(ごう)」である。・・・として，「数値」の５が出てくる。
一合枡の大きさを「共通の尺度」として定めたので，お酒の体積を数字の５に対応させる定量化＝数値化ができたわけです。
現代では，「共通の尺度」がｍｌと変わり，５合の量のお酒の表現が９００ｍｌとなって，数字が変わってしまった。
「量」は元になる「共通の尺度」の何倍であるかによって数値化され，数値は「共通の尺度」の選び方により異なります。
「共通の尺度」によらないように抽象化すると，「数」として扱うことになって，
それ以降は，ＡＢ＝ＢＡといった交換法則が成り立つ「数の世界」になるのです。
何人かの方が主張されたのは，この抽象化された「数の世界」で成り立つことであり，
小学校の文章問題で扱う「量の世界」では成り立ちません。
「距離＝速さ×時間」は正しく，「距離＝時間×速さ」は間違いです。
「外延量」＝「内包量」×「外延量」であって，「外延量」＝「外延量」×「内包量」は間違いなのです。
電力＝電圧×電流，なのか？，電力＝電流×電圧，なのか？・・・・これは大学で「正しい式とその理由」を学ぶでしょう。
・・・・・
お子さんでもわかる本としては，
榊忠男　監修，市川良　著；らくらく算数ブック６；量の世界，太郎次郎社，2001年初版，ISBN4-8118-0916-5
がよいと思います。図書館で借りて読むだけでもじゅうぶんだと思います。ご一読をお奨めします。
量の概念をある程度の深さで学ぶのは，「現在では小学校第６学年で，残念なことに中学高校ではナシ」となっています。
・・・・・
「概念まで理解している」のと，「演算の手順と意味を理解している」のと，「こう答えればマルがもらえることを知っている」のと，
「たくさん問題を解いて慣れている」のとでは，まるでレベルが違うのですが，一見それらは同じに見えます。
最初のお子さんなら偏差値７０以上，二つ目なら偏差値６０以上，多くのお子さんは三つ目か四つ目かもしれません。
私立小学校なので早く教えようとしているのでしょうけれど，教えるのが早いほうがよいわけではありません。
小学２年生では，掛け算の順番の理由や量の違いをきちんと理解するのは，まだ無理なのではないかと思います。

算数にお詳しいかたのスレも出ていますが、
この問題は専門家の間でも賛否両論のようですね。
名前をだした上で、掛け算の順番はどちらでも可と述べているかたもいらっしゃいます。

ところで、小学校での初めての掛け算は、足し算の延長線上として習います。
（家の子供の教科書はそうでした）

三枚の皿に、それぞれリンゴが２個あるときは、
２個＋２個＋２個＝２個×３皿＝６個
となります。
これは皆さんＯＫなのですよね。

問題は、３×２＝６を×にすること。

そこで、例えば３皿×２個ではなく、
３皿×２個／皿＝６個
つまり２個ではなく、一皿あたり２個と考えた時はどうでしょう。
３×２でも２×３でもどちらでもＯＫだと思うのですが…。

でも、現実問題として３×２では、小学校で×になる訳です。

この場合、お子さんが意味も分からず反射的に２つの数を掛け合わせていまうようであれば、小学校の教え方に従えば良いと思います。

一方、小学校での足し算の延長線上としての教え方も良く理解し、
その上で大人を納得させられるような理由をもって３×２でも良いと主張するお子さんであれば、
それを認めたうえで、学校では先生のやり方に合わせるようにと諭したらどうでしょう。

小学校の先生は主要４教科の他に、体育や家庭、場合によっては音楽、図工、そして、生徒指導その他もろもろの仕事があります。
すべてを深く、完璧に理解している先生はいないのではないでしょうか。
掛け算の順番に関しては、指導要領にそって教えているのでしょう。
ただ、逆にすると×ということは、教科書にものっていないし、指導要領にもないということを聞いたことがあります。

国語で、倒置法ばかり使った作文を書いたらどうなるでしょう。
それと同じ事です。

もとこう様

＞国語で、倒置法ばかり使った作文を書いたらどうなるでしょう。
それと同じ事です。

国語で倒置法の文章を書いたら、すべて×をつけられてしまうということですか？

学校で習う、足し算の延長線上にある掛け算を良く理解しているのならば、
専門家の間でも教え方に関して意見がわかれているようですから、
他のやりかたも認めてもいいのではという意味ですよ。

結論の出ない話題様


ところで、小学校での初めての掛け算は、足し算の延長線上として習います。
（家の子供の教科書はそうでした）
　　　　　　↑
　ここは微妙です。

４＋４＋４＋４＋４＝
４が５こある。
１個ずつ足していってももちろんいいのだけれど、同じものがたくさんあるんだったら・・・・というのでかけざんがあるわけで・・・
たしざんの延長であっても、いったい何がいくつ分あるというかけざんなのかはちゃんと考えます。


４×５＝２０
これはどういったって４×５であって５×４ではない。
うちの２年生の息子にもそれは伝えてあります。
九九はもう既に知っているから、４×５と５×４は答えが同じと知っているし、長方形の面積などで縦×横は長方形をごろんと転がせば横×縦になるねということも承知している。
でもかけざんで４×５と５×４は意味が全く違うのだということを伝えています。


三枚の皿に、それぞれリンゴが２個あるときは、

２個＋２個＋２個＝２個×３皿＝６個
問題は、３×２＝６を×にすること。

一皿あたり２個と考えたら、
普通に１皿あたり２個×３皿分＝１２
でいいのではないですか？
りんごが２個ずつこれが３まいぶんあるんでしょ？
何がいくつ？と考えたら３×２にはならないでしょ？

３×２だと、りんごが３個が２皿になってしまいますよ～と言えば、
２年生の子ども達は、「そうかあ～」と言います。

うさぎさんが５匹います。うさぎのお耳は２本ですね。
うさぎさん全部でお耳は何本？

うさぎさんのお耳は
　　２本　　　　　　　×５匹分　　　＝　　１０本

これが５×２だと、
５本耳のうさぎさんが２匹いることになってしまいますねえ～

この説明で、子ども達は笑いながら、かけざんの意味について考えます。
ほんとそうだなあ～！って。

これを、曲解して、
神様が５匹のうさぎさんに耳を一本ずつあげました。
１本では足りないよというので、もう一本ずつあげました。
うさぎさん全員にあげた耳の数は何本でしょう？

神様が１回目にあげた耳の数　　　いったい何回耳をあげたか？
　　　　　５本　　　　　　　　　　　　　２回　　　　　　　　１０本

何だかうさぎさんの立場で考えると、耳が痛くなりそうですが、こうなればこういう立式でもいいと思います。

ここまで言えば、子ども達だって、「絶対に５×２じゃないと・・・」とは言いませんよ～
何がいくつ分あるの？
１あたりの数はいったいいくつなの？
としっかり考えられるようになります。

「お菓子が６個あります。３人に同じ数ずつ配ります。
一人いくつもらえるでしょう？」
こういう問題であれば、

６÷３＝２
この考え方の根本で、
たぶん、３人にまず１個ずつあげるわね。
その行為をもう一回やったら、３人に２皿に２個ずつになったわね。
だから
　　　
　　　１あたりの数
１回にあげた数３個(３人に１個ずつあげた)×その行為を２回やった。＝６個

という考え方もしてもいい。

でもそれだったら、次のような問題でないと・・・。
そういう問題であればまた違ってきますよ。

「先生は、お菓子を、子ども３人に１こずつあげました。
まだお菓子が残っているので、もう一回３人に１個ずつあげました。
さて、先生はお菓子を何個使ったでしょうか？」

１回おかしをあげるのに使った数　　　　何回分おかしをあげたか

　　　　３個　　　　　　　　　　　　　　×２回　　　　　　＝６個
　
１あたりの数がいったい何なのか！
ほんとに、２年生の算数で、そこが一番肝心のところです。
あくまでも何がいくつあるの？
何が何個分？なのです。
そこがかけざんの意味です。
そこがどっちでもいいとなるとかけざんの意味が揺らぎます。

小学校で足し算の延長線上としての教え方は最初の導入というか、「何を何回足すのか？というのがかけざんなんだ！というかけざんの意味の部分だけで、最初だけです。あとは一切しません。
その後に出てくるのは「何がいくつぶん？」の根本の概念だけです。

「その子が大人を納得させられるような理由」をもって３×２でも良いと主張するのであれば、よく話をきいてあげて、きちんと概念を伝えてあげればそれでいいのではないですか？先生のやり方に合わせるわけではないですよ。それが根本なのですから。諭す必要はないと思います。しっかり根本を話せば伝わります。
何も無理にあわせるだとかそういうことではないと思います。
　　　　　　　　　↑
水道方式の遠山先生は、たしざんの延長線上として教えかたではなく、何がいくつ分あるのかというかけざんの根本の概念を大切にした考え方を論じていました。
大人を納得させられるような理由であれば・・・という部分、私はどうかなあ？と思います。
いずれ柔軟な考え方がドンドン出てきますが、ここは、２年生の時点では、私はしっかりと何がいくつ？という考え方に徹して教えたいです。


逆にすると×ということは、教科書にものっていないし、指導要領にもないということを聞いたことがあります。
　　　　　　　　　↑
１あたりの数×いくつぶんという考え方がわかっていないのであれば、当然×でしょう。
指導要領や算数の指導書に、いちいちこういう場合は○、こういう場合は×なんて書き方はしません。

毎年ある話ですねさまが紹介されている水道方式の書籍は、私もいくつか持っていますが、そういった概念を大事にしていてとてもわかりやすいです。
遠山先生の「わかる算数の教え方」は、子どもを教えるのにバイブルとして使っていました。

毎年ある話ですねさまがおっしゃるように、抽象化された「数の世界」で成り立つことをふりかざすより、小学校の文章問題で扱う「量の世界」に、しっかりとひたって十分考えるのがいいと思います。

どろんこ様

私の表現力がないのか、話が全くかみ合っていません。

〔何がいくつ分あるのか〕と考えることが、足し算の延長線上にある掛け算という意味なのです。
うろ覚えですが、一つ一つ足していくところを〔何がいくつ分あるのか〕という概念を持つことによって、
計算を簡単にしたものが、古代インド算術における掛け算の発祥と本で読んだ記憶があります。
いま小学校で教えているのは、この考えかたなのでしょう。足し算の延長線上にある掛け算です。
どろんこ様の仰っている掛け算の考えかたもまた、足し算の延長線上にあります。
だからこそ、掛ける数、掛けられる数という考え方につながるし、日本語の語順にこだわれば、その順番に○×がつくでしょう。
(蛇足ですが、欧米では語順の違いから、普通は逆に書くことが多いそうです。ただ、順番にこだわることはないとのことです。逆にかいた＝理解していないとは判断しないのです。順番にこだわるのは日本独特のルール。)

私はこの考え方を否定してはいません。
普通の頭脳の小学生が初めて掛け算にふれる場合は、とても理解しやすいものだと思います。


でも世の中には、子供といえどもとても頭の良いユニークな発想をする子供もいるでしょう。
先生の教え方を理解してうえで、別のアプローチをする子供を全面否定することはないと思います。
先生の教え方繰り返し説明しないと、順番を間違える〔学校で×をもらう〕子供のことを言っているのではありませんよ。

私は残念ながら、水道方式について書かれた本は読んだことがありません。
著者は、数学者というより算数教育の専門家でしょうか。
一方、科学者であったり、数学者であったりするかたが学校で教える掛け算の順番にたいして否定的な意見を述べている記事は読んだことがあります。

私が最初の書き込みで言いたかったことは、下記の通りです。
・専門家の間でもいろいろな意見があるようだ。
・小学校の教え方のよさも理解できる。
・小学校の教え方を十分に理解したうえで、それに対して疑問をもつ子供であれば、認めてもいいのではないか。
・異論がある場合でも、学校ではそのやり方に従い(理解しているので合わせるのは簡単なはず)、家庭内で解決するようにしたほうが良いと思う。

私は、どろんこ様の書き込み、(何がいくつ分)つまり足し算の延長としての掛け算の概念は理解しています。

結論の出ない話題さま

わたしも、結論の出ない話題さまのおっしゃることも分かるのですよ。
それに、頭のいいユニークな発想をする子を全否定しようなどとは考えていませんよ。
とことんその子の話を聞くでしょう。そして議論すると思います。
その子の意見を聞いた上で、そういう過程で考えたというのであればいいだろうと○にするかもしれません。
しかしそれは十分その子の話を聞いた上でのことです。

欧米の語順の違いのことも知っています。

でも、まずは基本はやっぱり基本ではないですか？
その基本にのっとった上でのことではないでしょうか？
普通の頭脳の小学生ではなく、もっと深く突っ込める小学生がいたなら、そこからまた議論が始まるというもの。

遠山啓さんは水道方式を作った人です。
水道方式で検索すると調べられると思います。
科学者であったり、数学者が学校で教える掛け算の順番にたいして否定的な意見を述べている記事を読んだだけでは子ども達の側に立っての意見は語れないのではないでしょうか？
学校教育の中の算数科教育について危惧して作った方式と、科学者が理詰めで主張する意見とどちらが子どもに合っているか・・・・。

「異論がある場合でも、学校ではそのやり方に従い、家庭内で解決するようにしたほうが良いと思う。 」
　　　　↑
ここだけは、私もそう思いますよ～
賛成です。

実際に授業で、子ども達に導入からかけざんを教えました。
当然、2×３でも3×２でも同じじゃないか～という子がいました。
うさぎが３びきいます。うさぎの耳は2本、耳は全部で何本？
だと、

３びきが2本の耳があるから3匹×2本＝６本
というから、

3匹のうさぎがみんなでおててをつないでながいウサギロープを作った。
そのウサギロープが2本あるという話なの？
と聞くと、

「いや、ただの３が２こあるから、６なんだよ」と答える。
じゃあ、３って何？耳の数？じゃあ耳が3本あるうさぎが２ひきいるってことなの？と聞いて、黒板にヘタなウサギの絵をかいて、耳を3本かく。すると、

「いや、うさぎの耳は3本じゃなく2本だから違う。3匹のうさぎが耳が2本ある。だから3匹×2本で6本だ」と答える。
じゃあ3匹が1本の木に登ってる。そういう木がもう一本ある。
全部で何匹いるの？ってこと？
と聞くと、いやそうじゃないという。

それなら1匹に耳は2本ずつ、それが3匹いるんだから２×３でいいんじゃないの？というと、「くもんで３×２も２×３も同じだって習ったもん！」と最後はそう答える。

そのくらいは学校で子どもと議論しますよ。
その子がどういう理由でそう書いたか、単に「これはかけざんの問題だから、前の数字から並べて書いて×を書いただけ・・・という子がいかに多いことか・・・・。
概念がちゃんと分からず掛け算の意味がわからず割り算に突入する子がいかに多いことか・・・・。
2年生3年生4年生あたりを教えると、そのあたりが一目瞭然なのです。
そのすべての学年を教えてみて、それを知っているからこそ、私はこの2年生の導入が大事なんだよ～とどうしても言いたくなってしまうのです。

結論の出ない話題さまは、どのくらいお子さんの現状をご存知でしょうか？
たぶん優秀なお子さんの親御さんなのでしょう。
でも、世の中には理解があやふやなまま学年が進んでしまっていて行き詰まっている子たちもいっぱいいるのです。
科学者、数学者の意見をどうしても押したいようですが、低レベルであっても、私はそういう子たちを迷わせないということを大事にしていきたいのです。

下世話な質問で恐縮です。



小学校の算数の試験では、
「かける数」×「かけられる数」
「かけられる数」×「かける数」
順番が違えば誤りとされるということは理解しました。


中学入試においても、記載の順番が採点の対象となっているのでしょうか。


高校教師に聞いたところ、高校生の数学では「かけられる数」×「かける数」の順番は不問で、記号の記載順を間違えると減点するということでした。
もちろん大学の試験でも同様で、「かける数」と「かけられる数」の順番をかえて記載しても採点には影響しません。


小学校教育の算数としての議論は拝見いたしましたので、
算数から数学への移行期である中学受験ではどのように採点されるのかをご教示いただければ幸いです。