かける数とかけられる数｜掲示板スレッド

とても興味深い議論ですね。

ひとつ教えていただきたいのですが、たとえば半径１０ｃｍの円の周長を
求めるとき、直径×円周率と習った気がしますし、
１０×２×３．１４＝６２．８　とよく書くと思いますが、
円周率というのは直径に対する周長の比率なので、
aReYIwQVM/Yさんのおっしゃる
「単位あたり量×変数のときの掛け算の順序の正誤」、という観点からすると
３．１４×（１０×２）＝６２．８ とするのが正しいことになりますよね。

面積はπr^2 （^2は二乗を表します）なので、
３．１４×１０×１０＝３１４ と書くべきですが、
１０×１０×３．１４＝３１４ と書かないと
もし「どろんこ」さんが採点者なら×をつける、ということですよね。

それとも、円周率は無次元だから別扱いなんでしょうか。
小学生に理解させるのはなかなか難しいですね。
算数って、奥が深いですねえ。

上記の
「１０×１０×３．１４＝３１４ と書かないと」
は
「１０×１０×３．１４＝３１４ と書くと」
の間違いです。失礼しました。

私は、子どもに、「順番を重視することが学問的、教育的に重要である」なんてこと、一回も説明した覚えがないです。
「順番だから守る」わけではないですもの。
何がいくつあるの？ってことだけですもの。


順番遵守！なんてふうに、概念も教えずにもし命令したとしたら、うちのひねくれものだったら、絶対守らないでしょう。
そんなの納得いかない！ってきっと言うでしょう。
納得できなければ理解は出来ないし、守らないと思います。


うちの子が、どうして今、かけざんの順番どおりに立式をしているのかといえば、それは、いったい何がいくつ分あるのかを、自分で考えて納得できたからです。そうでなければたぶんどっちでもいいやと思うことでしょう。


円周の長さの問題となると、率の問題になりますから、1あたりの数×いくつぶんだけでは考えられなくなりますよね。


円周とは、円の周りの長さです。
円周が直径の長さのいったい何倍になるのかをあらわす数が円周率です。
それが３，１４です。
実際には割り切れませんね・・・・。
少数第何位まで言えるか～なんていうので、暗記を頑張っている七田式の子なんかも確かいましたね。
概数で言えば、大体直径の3倍よりちょっと大きいということですね。
ゆとり教育では３になってるらしいですが・・・。

だから円周を求めるときには
直径×３，１４＝円周です。
円周は、「直径の長さのいったい何倍分なのかな」ということですからね。
言葉どおりでしょ？


円周が分かっていて、直径を求めたいときには、その逆で、円周÷３，１
４でいいのではないですか？



円の面積の出し方ですが、

まず、円の中心から円周に向けてたくさん線を引きます。
32等分、64等分・・・・・もっと細かい方がわかりやすいかもしれないです。細かければ細かい方が顕著に分かります。

その切ったおうぎ形を上下交互にきれいにならべていくと、なんと、限りなく長方形に近い形に並びます。
縦は半径です。横は円周の半分の長さです。


だからこそ、円の面積は

　　半径×円周の長さの半分
＝半径×(半径×３，１４)
＝半径×半径×３，１４

で求めることになったわけです。
何も、無意味に数や３，１４を並べて公式にしたわけではないのです。
すべて意味のある理由のあることなのです。


長方形の面積を求める公式であれば、縦×横であっても、横×縦であっても、どちらでも認められますよね。
長方形を横に転がせば同じですし・・・・・。
そんなことで、私は×はつけませんよ。今でも。
視点が全く違いますよ。


率の問題になった場合、
ここまでくると、何が何個あるだとかでは、言い表せなくなってきますよね。
そこまできてまで、変に順序にこだわっていること自体、屁理屈っぽい気がします。
円周率そのものがすでに率なわけだし・・・・・。

どなたか、私の下世話な質問にお答え願えませんでしょうか？


2回、同じような質問をしたのですが、趣旨が伝わりにくかったようですので、修正して再投稿いたします。


中学入試の場で、「かける数」と「かけられる数」の順序を遵守して「記載」する必要があるのでしょうか。

算数から数学への移行期である中学受験の場で、中学での数学を指導される先生方がどのように採点されるのかをご教示いただければ幸いです。


というのが、私の質問です。


前二回の私の書き込みに対し、書き込みを下さった方にはお礼申し上げます。
もし、そのかたが、中学での数学を指導される先生方がどのように採点するのかをご存知であったとすると、すでに解答をいただいていることになるのですが、そのようには読みとれませんでしたもので。



私の子供への指導方法について、悪影響を危惧してくださったかたには、特に感謝申し上げます。

前回の投稿では、私の指導方法につきご心配いただきましたので、念のため関連することを記載いたします。
試験の答案は、出題者からの手紙への返信のようなものであるから、出題者の問いかけに的確に答えるよう勤めるようにと指導いたしております。
私の指導内容を前回の話に沿って述べますと、
出題者が、「かける数とかけられる数の順序を遵守して記載する能力」を知るための問題を出しているのであれば、当然にそれを示すための答案を書くべきであるし、
「分配・結合法則を利用することができるか」を知ろうとしているのであれば、その能力をアピールするような書き方をする必要があるということです。
また、自明の部分を記載することは、記載する側にとって手間がかかることであるのみならず、それを読むほうにとっても苦痛であるから、答案は簡潔であるに越したことはないとも指導しております。
ご心配いただき、ありがとうございました。

参考までに、アメリカでは日本の逆です。
例えば、りんごが２個のったお皿が５皿あります、りんごは全部でいくつ？だったら、
５×２　＝　１０
になるんですよ。
英語で
5 times 2 equal 10
（５回の２は１０）
語順の違いですね。
でもやっぱり　かける数とかけられる数は区別します。


ちなみに筆算にするときは、かける数とかけられる数が入れ替わります。
　２
×５
____
１０


英語で、
2 multiplied by 5 is 10
（２の５倍は１０）
と言います。



すれ主さまのご主人にも教えてあげてください。

言語、思考過程、の違いで、どちらでもありうるわけでしょう。

要するに順番そのものが重要なのではなくて、その意味が理解できているかということが重要なわけでしょう。

それを、教条主義的に、決まりに（文科省が決めたのか、誰かお偉いさんが決めたのか知りませんが）従わないものは不正解にするというのは狭量じゃありませんか？

＞言語、思考過程、の違いで、どちらでもありうるわけでしょう。
そういうことではありません。
６年生になると，「数値の掛け算という計算」から，「ともなって変わる二つの量の間の関係」に発展させます。
これは，中学で正式に習う一次関数を難しい用語の定義をしないで導入しているのです。
従属変数＝係数×独立変数
本来は上のように習うべきところを，係数を「掛けられる数」，独立変数を「掛ける数」と「小学校では」呼んでいるのです。
係数は，従属変数（の変化量）÷独立変数（の変化量）で決まるので，「単位量あたりの量」と呼び，「比例係数とは呼ばない」ことにしている。
中学になれば習うわけですが，・・・ｙ＝ｋ×ｘであって，ｙ＝ｘ×ｋ，とはもちろんしませんよね。
これが，掛ける順番はどうでもよいことにはならない理由です。
高校以上では，さらに進化して，従属変数の微小変化量÷独立変数の微小変化量＝ｄｙ/ｄｘとなって，微分係数と呼ぶようになります。
大学以上では，変数の種類とその違いや性質を習うようになります。
小学校６年生ではじめて，数値どうしの計算から，変数間の関係へとの，概念的な飛躍が求められる。
これが，「ともなって変わる二つの量」と「単位量あたりの量」の二つの学習単元です。
距離＝速度×時間・・・・
ここで，ある数値のときの計算ではなく，独立して変化する変数とそれに応じて変わる変数との関係と捉え直すのです。
ある数値に対応する数値＝一対一の関係から，数値の集合から数値の集合への対応＝関数に概念を広げるわけです。
・・・・・・
「単位量あたりの量」
異種の二つの量の割合としてとらえられる数量について，その比べ方や表し方を理解し，それを用いることができるようにする。
ア 単位量当たりの考えなどを用いること。
イ 速さの意味及び表し方について理解するとともに，速さの求め方を考え，それを求めること。
・・・・・・
「ともなって変わる二つの量」
伴って変わる二つの数量について，それらの関係を考察する能力を伸ばす。
ア 比例の意味について理解すること。また，簡単な場合について，表やグラフを用いてその特徴を調べること。
・・・・・・
速さは距離÷時間ですから，一時間あたりに移動する距離・・・係数です。
この係数に時間を掛け算すると，「どんな時間」に対しても「移動する距離」を求めることができる。
これを，グラフに描くと，グラフは直線になって，・・・その傾きが比例係数ですが，これが「単位量あたりの量」です。
代表例として身近な，速さを使うことにして，距離＝速さ×時間，を学ぶことになっています。
・・・・・・
したがって，長方形の面積が底辺の長さ×高さが○で，高さ×底辺の長さが×などというのはおかしいことです。
それは，人が図形を見る位置の違いで，これを×にする教師（甥が習った先生がそうでした）は間違いです。
計算の工夫で，３×６＋１４×３＝（６＋１４）×３＝６０，これは正しい。
掛け算の順番を問題にするのは，「ともなって変わる二つの量」の間の関係＝関数として捉えるときです。

５＋５＋５について5を3回足すと考えるのか、3回、5を足すと考えるのかという初歩的な言語表現、思考過程の違いについて申しているのですが、どこが間違っているのですか？