東大生正解率８％の問題｜掲示板スレッド

>「二人とも女の子　かつ　少なくとも１人が日曜日うまれの女の子である確率は?」
という意味なのであれば、答えは13/196だと思います（これは正しいのですよね?）。

これは違うって方、いらっしゃるのでしょうか?

男女半々に生まれるのであっても、男の子には条件つかないのに、女の子はつくのでしょう。だったら、２／１より値が小さくなるのは理屈に合います。

一応理系ですが、物理・数学系じゃないです。
（自分の数学センスの限界を感じて、そっちの専攻は断念しました。）

こどもは中受していません。（現公立中生）
偏差値はかつての私よりもかなり上だと思いますが、
これは塾のおかげ＋妻が英語を鍛えた成果
私はほとんど関与しておりません。（遺伝的には同程度？）


さて、まずは東大工学部 院卒さんが紹介されていた
モンティ・ホール問題の答えにしっくりこない方のために・・・、

あなたは、三つの扉をしばらく見比べた後、天を仰いでため息を一つ。
ようやく意を決して扉の前に歩を進め、ドアノブに手をかけたちょうどその時、
「ちょっと待った！」モンティが叫びます。

「もしあなたがその扉の権利を放棄するなら、残り二つの扉の両方を開く権利が与えられます。」
「さあ、どうしますか？」

私だったら、当然この提案をありがたく受けます。
だって、確率１／３が２／３になるんですから。

・二つの扉をあける権利
・二つの扉の一方しか開けられないけれど、どちらか確実にハズレの方を教えてもらう権利
同じことですよね？

モンティは残った扉を必ずしもランダムに開けたんじゃないんです。
もしどちらかに新車があった場合、
わざとそちらを残しておいてくれているんです。

はじめに選んだ扉の価値は１／３でしかありませんが、
残った扉は、二つの扉のいいとこ取り、
つまり、２／３の価値があるわけです。

>「二人とも女の子　かつ　少なくとも１人が日曜日うまれの女の子である確率は?」
> という意味なのであれば

問題の意味はそうではありません。
既にコメントされている方も何人かいらっしゃる通りで、いわゆる「モンティ・ホール問題」と同型です。
Wikipediaに「モンティ・ホール問題」の項もありますが、詳細すぎてかえって分かりにくい説明になっています。
むしろ、「ベイズ推定」の項
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%8E%A8%E5%AE%9A#.E3.83.A2.E3.83.B3.E3.83.86.E3.82.A3.E3.83.BB.E3.83.9B.E3.83.BC.E3.83.AB.E5.95.8F.E9.A1.8C

のほうが参考になるでしょう。
あるいは、東大の院生さんが作成したパワポ資料
http://www.fml.t.u-tokyo.ac.jp/~izumi/WS/Bays_basic[削除しました]
（［削除しました］の拡張子は「ドットピーディーエフ」です）

も良さそうです。
ちなみに、ベイズの定理の考え方は今では高校の数学で教えているようです。中学受験には出てこないでしょう。

長くなったので、分割投稿です。

さて、本題の東大生８％？
これは私ごときには手に余る難問でした。
みなさんのお答えを見なければ、一晩唸っていたかも？

そのお答えの中でも東大工学部 院卒さんの【3018260】は秀逸。
以下はそれをパクッて、いくらか小学生向き？にアレンジしただけです。
（でも、もしこんなのが入試に出てもそれは捨て問。学習不要でしょう。）

まずは問題文の国語の解釈から、
前提が、上の子（双子は想定外）は日曜生まれの女の子
あるいは下の子は・・・だったら、答えは単純に１／２になりますが、

よく読むとどうやら
二人のこどものうち、少なくとも一人は日曜生まれの女の子
ということのようですので、単純にはなりません。

それではいよいよ算数ですが、
いきなり日曜生まれまで考えると混乱します（私がそうでした）ので、
まずはもっとシンプルに曜日の条件を除外して
少なくとも一人は女の子、で考えて見ます。

この時のこどもの組み合わせの場合の数は、
女女、女男、男女、男男
上の子に男女２通り、下の子にも男女２通りで
２×２＝４とおりになります。

これを東大工学部 院卒さんの表で示すと、

第一子
↓
　　女　男　←第二子
女　○　●
男　●　×

○：二人とも女
○●：少なくとも一人は女
×：問題の条件に当てはまらない場合

問題条件に当てはまるのは、上の子が女の場合（下が女または男）の二通りと
下の子が女の場合（上が女または男）の二通りですが
二人とも女の場合が重複していますので
問題条件に合う場合の数は、２＋２－１＝３
二人とも女の場合は１通りですので、確率は１／３になります。

では次に、ちょっと複雑にして
少なくとも一人は奇数日生まれの女の子としてみましょう。
（31日や29日の月は確率が均等にならないってツッコミは禁止）

　　　　女奇数　女偶数　男奇数　男偶数
女奇数　　○　　　○　　　●　　　●
女偶数　　○　　　×　　　×　　　×
男奇数　　●　　　×　　　×　　　×
男偶数　　●　　　×　　　×　　　×

この場合に条件に当てはまるのは
上の子が女奇数の場合に、下の子が女・奇偶、男・奇偶の４通りと
下の子が女奇数の場合に、上の子が女・奇偶、男・奇偶の４通りですが
二人とも女奇数の場合の重複がありますので
場合の数は、２×２＋２×２－１＝７
二人とも女の場合は、２＋２－１＝３　で　確率は３／７

さらに複雑にして
少なくとも一人は３の倍数＋１の日（１，４，７，１０・・・）
に生まれた女の子とすると、
（31日の月は確率が均等にならないって・・・シツコイか）

　　　　女ｎ+1　女ｎ+2　女ｎ+3　男ｎ+1　男ｎ+2　男ｎ+3
女ｎ+1　　○　　　○　　　○　　　●　　　●　　　●
女ｎ+2　　○　　　×　　　×　　　×　　　×　　　×
女ｎ+3　　○　　　×　　　×　　　×　　　×　　　×
男ｎ+1　　●　　　×　　　×　　　×　　　×　　　×
男ｎ+2　　●　　　×　　　×　　　×　　　×　　　×
男ｎ+3　　●　　　×　　　×　　　×　　　×　　　×

場合の数は、３×２＋３×２－１＝１１
二人とも女の場合は、３＋３－１＝５　で　確率は５／１１

やっときました、本題の東大生８％問題では、

　　　　女日曜　女月曜　女火曜　女水曜　・・・・・・
女日曜　　○　　　○　　　○　　　○　・・・・・・・
女月曜　　○　　　×　　　×　　　× ・・・・・・・
女火曜　　○　　　×　　　×　　　×　・・・・・・・
女水曜　　○　　　×　　　×　　　×　・・・・・・・
女木曜　　○　　　×　　　×　　　×　・・・・・・・
女金曜　　○　　　×　　　×　　　×　・・・・・・・
女土曜　　○　　　×　　　×　　　×　・・・・・・・
男日曜　　●　　　×　　　×　　　×　・・・・・・・
男月曜　　●　　　×　　　×　　　×　・・・・・・・
　・
　・
　・
場合の数は、７×２＋７×２－１＝２７
二人とも女の場合は、７＋７－１＝１３　で　確率は１３／２７

うゎ～、
だらだら書いて読み直したら、
自己満足のただ長いだけの解説になってましたね。
とりあえず投稿しちゃいますけど、
これが私大非数学系の限界と言うことで、ご容赦を m(_"_;)m

確率１／２説を支持したものです。１３／２７というのは面白いパラドックスですね。

斎藤さんの家には子供が二人いて、子供部屋が２室あります。一つ目の部屋に入ったら女の子がいました。
この時点で、もう一人の子供が女の子である確率を考えると、１／２です。
この子が姉か妹かわかりませんので、そのどちらかである確率が１／２。その各々に対して、もう一人の兄弟が女である確率が１／２と考えるからです。

ところが、壁を見たら「私の誕生日の曜日は毎年変わるけれども、本当に生まれた日は日曜日だった！」と書いてありました。
ムムム…。このことを知った時点で、もう一人が女の子である確率が、１３／２７に下がりましたとさ。

でも、よく考えてみると、だれでも生まれた日はありますから、それが日曜であろうと、月曜であろうと、どこかの曜日には生まれています。それがわかったからといって、もう一人の兄弟が男女である確率に何らかの影響を与えると考えるのは変な話です。男女の確立に曜日は何の関係もないからです。そんなことをいったら、一人は１２月生まれの女の子だったというと、もう一人が女の子である確率が、また変わってしまいます。今度は７ではなく１２になりますから・・・。

面白い問題ですね。もしかしたら、もとの問題の表現が違っているのかもしれませんね。

なかなか、いい盛り上がりですね。


ちょっとアレンジした問題の提起です。

「子供が二人いて、少なくとも一人は女の子です。女の子をひとり任意に一人選んだとき、もう一人の子が日曜日生まれの女の子である確率はいくつでしょう？」

同様の考えて解けますが、私が示した図のやり方で、ちょっとした工夫が必要です。
日曜日生まれの女の子は必ず女の子ですが、逆は成り立たないので、微妙にアプローチが異なります。



ふふ・・・さん から質問が続いているので、答えておきます。

「子どもが二人いる場合で、ふたりとも女の子　かつ　そのうちひとりは女の子で日曜生まれ」

の確率はふふさんの考えているとおり、13/196です。

ふふ・・・さんが いまだ理解されていないのは、

「少なくともひとりは女の子で日曜生まれ」という限られた条件の中、つまり”条件付”確率の問題であることを理解されていないことによります。

つまり196のケースのうち、27ケースだけを取り上げて議論しているのです。

ひとつ前の質問で
「B,Cは2倍にしないとけません。 」とあるのは、
たとえば、196のケースが等確率であるから、そのうち条件に当てはまる27ケースもそれぞれ等確率であり、13/27という計算が成り立つのですが、B, Cを2倍にしないと、ふふさんの考える14ケースは等確率ではないので、計算が成り立ちません。


先に説明した2つのサイコロの例を実験して答えを確かめてみてください。

盛り上がっているところに、失礼します。
問題文を正しく読み取ることが重要だとおもうのですが、その点が抜け落ちていませんか？
「かつ」なんて、どこにも書いてありませんよね。