東大生正解率８％の問題｜掲示板スレッド

２７分の１３が正解である、という前提で考察してみました。これって過去問なんでしょうか。

面白い問題だなと思って解いてみたら、
いきなり　はんだいこうがくぶさんの正解が書かれてて書き込む気力が失せました。
ところがスレッドは妙な延び方をしていますね。いろいろ誤解があるようですが、
ドアの問題を含めて　東大工学部　院卒さんが丁寧に説明されている通りです。

ーーーまず単純な事例で理解しましょうーーーーーーーーーーーーーーー
例題１
・硬貨を２枚投げた。
・両方表になる確率は？　　表1/2×表1/2＝表表1/4

例題２
・硬貨を１枚投げた。表だった。
・硬貨をもう１枚投げた。
・両方表になる確率は？　　表1/2

例題３
・硬貨を２枚投げた。表が含まれている。
・両方表である確率は？　　
　　両方表である確率／表が含まれている確率
　＝表表1/4／（表表1/4＋表裏1/4＋裏表1/4）＝1/3

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Ａとなる確率をａ、Ｂとなる確率をｂとするとき、
「ＡのときＢとなる」条件付き確率Ｐ＝ｂ／ａです。

ですから、例題３は、
Ａ「硬貨を２枚投げた。表が含まれている。」　ａ＝3/4
Ｂ「両方表である」　　　　　　　　　　　　　ｂ＝1/4
ＡのときＢである確率は？　　　　　　　　　ｂ／ａ＝1/3
となります。

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では、最初の問題です。

Ｐ「日曜日に産まれた女の子」　　　確率ｐ＝1/2×1/7＝1/14
Ｑ「日曜日以外に産まれた女の子」　確率ｑ＝1/2×6/7＝6/14＝６ｐ
Ｒ「男の子」　　　　　　　　　　　確率ｒ＝1/2＝７ｐ

Ａ「２人の子供に「日曜日に産まれた女の子」が含まれている。」
　　　　一人目×二人目の該当する確率を拾っていくと
　　ａ＝ｐ×ｐ＋ｐ×（ｑ＋ｒ）＋（ｑ＋ｒ）×ｐ＝２７ｐｐ
Ｂ「２人は女の子で「日曜日に産まれた女の子」が含まれている。」
　　ｂ＝ｐ×ｐ＋ｐ×（ｑ　　）＋（ｑ　　）×ｐ＝１３ｐｐ
ＡのときＢである確率は？　　　　　　　　　ｂ／ａ＝13/27
となります。

ちなみに東大生正答率８％であったとしても、「ここに書き込む人の正答率」は８％にはならないはずです。
解く気にならなかった人や挑戦したけれど答えが出なかった人が含まれないからです。

Ａ　ここに答えを書き込んだ　ａ＝問題を見て解く気になった確率×答えが出た確率×書き込む気になった確率　　
Ｂ　正解だった　　　　　　　ｂ＝書いた答えが正解だった確率


書き忘れましたが、子供の成績はＮ７０とＮ５０でした。

１３／２７が正解なのだろうけど、誰にでもわかるように説明するってまた別なんでしょうか。

最初にレスされたはんだい，こうがくぶさんが正解で、かつ一番わかりやすいと思います。

何故２分の１ではないのかと納得が行かない方へ：

この問題に対するアプローチは一般的な確率の考え方ではなく、「ベイズ推定」という手法を取ります。
Wikipediaの説明を借りると「観測事象（観測された事実）から、推定したい事柄（それの起因である原因事象）を、確率的な意味で求める」ということです。
理系の皆さんには割とお馴染みなのでしょう。文系でも、少なくともMBAでは教えます。

１等賞　はんだい　こうがくぶ様

ベスト解説賞　東大工学部　院卒様

↓これが秀逸、感心しました。

＿｜日月火水木金土にげかすもきど
日｜○○○○○○○●●●●●●●
月｜○-------------
火｜○-------------
水｜○-------------
木｜○-------------
金｜○-------------
土｜○-------------
に｜●-------------
げ｜●-------------
か｜●-------------
す｜●-------------
も｜●-------------
き｜●-------------
ど｜●-------------

○、●だけに注目すると、答えの13/27が明確ですね。

ネット検索で得られる解答が一等賞？
問題文を読み解く力、重要ですね。

やはり、腑に落ちません。

（Ａ）2人の子どもがいて、その一人が女の子であるが、その子の生まれた曜日がわからない場合は、もう一人の子どもが女の子である確率は1/3
（Ｂ）2人の子どもがいて、その一人が女の子であるが、その子の生まれた曜日がわかっている場合は、もう一人の子どもが女の子である確率は13/27

２人の子どものうち1人が女の子で、その子の生まれた曜日がわからない場合にもう一人の子どもが女の子である確率1/3が、性別のわかっている女の子の生まれた曜日がわかれば、もう一人の子どもが女の子である確率が1/2弱の13/27まで跳ね上がるのは腑に落ちません。

今回私は次のようなケースを考えてみました。
二人の子どものペアが700組います。
それぞれのペアは性別と生まれた順番で次の4通りがあります。
（ａ）男男
（ｂ）男女
（ｃ）女男
（ｄ）女女
この４つは確率的に同等ならば、それぞれが175組ずついます。
2人のうち一人が女とわかっている場合は（ａ）が除外されますので、525組が2人のうち少なくとも一人が女です。
生まれが日曜日である確率は1/7となりますから、上の（ｂ）（ｃ）（ｄ）のうちすでに性別のわかっている女が日曜日生まれであるペアはそれぞれ25(=175÷7)組ずつで、計75(=25×3)組になります。
このうちもう一人も女の場合は上の（ｃ）で25組です。
したがって、2人の子どもがいて、その一人が日曜日生まれの女の子である場合、もう一人の子どもが女の子である確率は1/3(=25÷75)となります。

この考え方に数学的論理の誤りがあれば、教えてください。