東大生正解率８％の問題｜掲示板スレッド

・日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言って、その子一人が写っている写真を見せてくれた
・日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言って、その子の似顔絵を書いてくれた
　
難しいですね。
「日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言って」までは、子供を特定せず「２人組のなかにいる」という情報です。
「その子一人が写っている写真を見せてくれた」は、話の情報に従属した事象と思われますから「子供が特定された」とまでは言えないように思います。
ただし、「日曜日生まれの女の子は１人」というニュアンスが伝わってしまいませんか？　そうすると残る１人の性別は男女同率です。
　
「その子の似顔絵を書いてくれた」も同様だと思います。
　
　
皆さんにお願いですが、過去の投稿に対して「あの時間違ったじゃないか」と批判するのは止めましょう。
ここで議論しながら進歩すればいいのです。
失敗を恐れては書き込めませんから、私自身もいろいろ間違いや不完全な投稿をしたと思いますが、
このスレッドのおかげでずいぶん進歩したと思うので良かったと思っています。

東大工３人目さん

＞・日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言って、その子一人が写っている写真を見せてくれた
・日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言って、その子の似顔絵を書いてくれた
難しいですね。
「日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言って」までは、子供を特定せず「２人組のなかにいる」という情報です。
「その子一人が写っている写真を見せてくれた」は、話の情報に従属した事象と思われますから「子供が特定された」とまでは言えないように思います。

わたしがかねがねいだいている疑問も似ています。

・日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言いうことだった。そこへ女の子が「ただいま」といって帰ってきた。

たしかに、こどもを１人づつ考えて計算しても、プログラムのそのように組んでも、1/2 という答えがでるのですが、女の子が帰ってきたという事実が何か状況に変化をもたらしたという実感が得られないので、後半で 13/27 -> 1/2 という確率の変化がなぜ起きるのか、いまだに不思議な気がします。

＞皆さんにお願いですが、過去の投稿に対して「あの時間違ったじゃないか」と批判するのは止めましょう。
ここで議論しながら進歩すればいいのです。
失敗を恐れては書き込めませんから、私自身もいろいろ間違いや不完全な投稿をしたと思いますが、
このスレッドのおかげでずいぶん進歩したと思うので良かったと思っています。

完全に同意します。間違いを恐れずに自分の意見を表明し、他の人たちの指摘でそれが正しくないことがわかれば、考えを修正すればよいと思います。そのようにして参加者の人たちが理解を深められたり、よりよい説明方法を見つけられたりするのが、議論することの価値だと思います。

И

＞問題４．斎藤さんの家に伺った際、女の子がいました。
その子は斎藤さんの娘さんで日曜生まれだそうです。
斎藤さんにはもう一人お子さんがいるとのことです。
さて、斎藤さんのもう一人のお子さんも女の子である確率は?

この問題の答えが 1/2 ということは、日曜日生まれの斎藤さんの娘さんに会ったという事実が、もう１人の子供の性別について何ら情報を提供していないということですね。なにも情報がない場合、女の子の確率はもともと 1/2 ですから。

それに対して、「日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言う」の答えが 13/27 ということは、1/2 から乖離している分、性別の特定により多くの情報を提供しているはずです。

ところが、

（イ）女の子がいました。 その子は斎藤さんの娘さんで日曜生まれだそうです。

（ロ）日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言う。

と書くと、（イ）のほうがより詳しい情報を提供しているように見えます。これもわたしが不思議に感じている点です。

И

イワンのばかさん
後の書き込みの方から意見を書かせてください。

＞問題４．斎藤さんの家に伺った際、女の子がいました。 その子は斎藤さんの娘さんで日曜生まれだそうです。 斎藤さんにはもう一人お子さんがいるとのことです。 さて、斎藤さんのもう一人のお子さんも女の子である確率は?
＞＞この問題の答えが 1/2 ということは、日曜日生まれの斎藤さんの娘さんに会ったという事実が、もう１人の子供の性別について何ら情報を提供していないということですね。なにも情報がない場合、女の子の確率はもともと 1/2 ですから。

ここですが、私はこう考えます。「日曜日生まれの斎藤さんの娘さんに会ったという事実が、もう１人の子供の性別について何ら情報を提供していない」と仮定して、まずその部分を取り去ってしまうと、「斎藤さんにはもう一人お子さんがいるとのことです。 さて、斎藤さんのもう一人のお子さんも女の子である確率は?」になります。これでは日本語として意味不明ですが、これは、議論の余地はあると思いますが、「子供が２人いて、２人とも女の子である（＝もう一人のお子さんも女の子）確率は？」と読み替えられると思います。この答えは1/4です。

子供が２人いて、いずれの子についても何の情報もない場合、２人とも女の子確率は1/4であることが、派生問題を含めたこの問題の出発点であると考えます。そして情報が得られるに連れて状況が絞り込まれ、もう一人について確定的なことが言える確率が高まっていくということ。１人女の子がいるというだけの情報なら1/3、１人を完全に特定できる情報が得られたら1/2。（蛇足ですが2人目も女の子であることが確定する情報が得られたら確率は当然1になりますね）。そして、一人の誕生曜日が分かったという情報は、２人の性別・誕生曜日が同じ場合を除いては1人を特定する情報なので、1/3と1/2の間の情報であり、7ケース中6ケースも特定できるので1/3より1/2にずっと近いということだと理解しています。

＞それに対して、「日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言う」の答えが 13/27 ということは、1/2 から乖離している分、性別の特定により多くの情報を提供しているはずです。 ところが、
（イ）女の子がいました。 その子は斎藤さんの娘さんで日曜生まれだそうです。
（ロ）日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言う。
と書くと、（イ）のほうがより詳しい情報を提供しているように見えます。これもわたしが不思議に感じている点です。

（イ）の方が詳しい情報というのはその通りだと思いますが、それゆえ1/2にまで高まるのであって、（ロ）の情報は不足部分があるため、13/27に留まっているということだと思います・

連投失礼します。

＞・日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言って、その子一人が写っている写真を見せてくれた
＞・日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言って、その子の似顔絵を書いてくれた
＞・日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言いうことだった。そこへ女の子が「ただいま」といって帰ってきた。

こちらはこのように考えます。「日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いるという」については、いる、いないでしか答えられないという条件を暗黙の前提として、いると言われただけでは、２人のうちどちらについて言ったのかわからないので、2人を組にして考えるというのが13/27を導くロジックであったと理解しています。上記の問題は、いずれも一旦「いる、いない」で答えた形となってはいますが、それに加えて、確率計算をせよと言われる前に、一人を特定する情報、つまり「いる」という情報を含み、かつそれ以上の内容のある情報が得られたことで、いる、という情報の価値はなくなっているということだと思います。

つまり実質的には
・日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、写真を見せて・似顔絵を描いて・ただいまと帰って来た子がいて、いるよ、この子だよ、という回答があったのと、同じ状況だと考えます。

問題文の時系列を追っていくと東大工3人目さん、イワンのばかさんのお考えが成り立つように思いますが、問題からどのような情報を読み取るかは内容次第であって、時系列で決まるものではないと思いますし、本問の場合写真・似顔絵・帰ってきたという情報が出るまでは確率を問われてもいないので、いる回答の時点で一旦確立を考え、その後の事象で確率改訂があったかどうか（単なる従属事象であるかどうか）を考えるというのは少し不自然のように思います。

なお、
＞皆さんにお願いですが、過去の投稿に対して「あの時間違ったじゃないか」と批判するのは止めましょう。
これは私にお叱りいただいているのだと受け止め、反省しております。慎みます。

お節介ですがさん

ご回答いただきありがとうございました。

＞上記の問題は、いずれも一旦「いる、いない」で答えた形となってはいますが、それに加えて、確率計算をせよと言われる前に、一人を特定する情報、つまり「いる」という情報を含み、かつそれ以上の内容のある情報が得られたことで、いる、という情報の価値はなくなっているということだと思います。

この点についてはわたしもそのように考えています。じつは先にプログラムを書いたさい、情報が（ａ）女の子がいる、（ｂ）１人の女の子に会う、の２段階で取得されるケースもシミュレートしてみました。その結果は、お節介ですがさんが推察されたとおり、（ａ）は効果をもたず（ｂ）だけが意味をもつ、となりました。

＞（イ）の方が詳しい情報というのはその通りだと思いますが、それゆえ1/2にまで高まるのであって、（ロ）の情報は不足部分があるため、13/27に留まっているということだと思います・

わたしには、男女の決定については 1/2 がもっとも確度が低い状態で、確率が 1/2 から離れて 0 または 1 に近づくにつれて確度が増すように感じられます。

〔以下はこのスレッドですでに議論された内容かもしれません。そうでしたらお詫びします。〕

＞「斎藤さんにはもう一人お子さんがいるとのことです。 さて、斎藤さんのもう一人のお子さん“も”女の子である確率は?」

さて、いただいたこのコメントの中の “も” について考えていたところ、もしかしたら、本題の解答は 1/2 とすべきではないかという気がしてきました。

本題は

（α）「斎藤さんには二人の子供がいる。
日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言う。
では、もう一人も女の子である確率は？」

です。これをつぎの言い換えとお比べください。

（β）「斎藤さんには二人の子供がいる。
日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言う。
では、子供が２人とも女の子である確率は？」

（β）の解答は、13/27 でよいと思います。しかし（α）の「もう一人も女の子である確率」という言い方は、日曜日生まれの女の子を１人選択したうえで、もう１人の子供が女の子である確率を尋ねているように聞こえます。その場合解答は 1/2 になるのではないでしょうか？

И

イワンのばかさん、お節介ですがさん　悩ましい点についてもう少し詰めたいと思います。
　
簡便のため子供をトランプのカードに置き換えさせていただきます。
・女の子の　日曜生まれ～土曜生まれ　⇔　ハートの　　１～７
・男の子の　日曜生まれ～土曜生まれ　⇔　スペードの　１～７

・ハートの１～７、スペードの１～７　計１４枚のトランプの山が２つある
・プレーヤーＡは、それぞれの山から１枚づつカードを引いて他の人にわからないようにテーブルにふせた
　
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

問題１
①ハートの１はありますか、と聞くとあるという
②では１枚見ますよ、と言って他のプレイヤーが１枚表にしたらハートの１だった
③残る１枚がハートである確率は？

①の時点で確率13/27だったものが、②で偶然に（無作為に）１枚のカードの中身が特定できたことで1/2になる。これは理解しやすい。

問題２
①ハートの１はありますか、と聞くとあるという
②では１枚見せてください、と言うとプレイヤーＡはハートの１を１枚を表にした
③残る１枚がハートである確率は？

①の時点で確率13/27だったものが、②で１枚確定的に見えた時点で1/2なのか？
それとも①の情報を作為的に表面化させた②では情報は変わらないのか？
単にテーブル上の姿を見ると、問題１も問題２も「ハートの１＋伏せたカード」で変わらない。

問題３
①プレーヤーＡは、自らハートの１があると言って、ハートの１を１枚を表にした
②残る１枚がハートである確率は？

これは、プレーヤーＡの作為的な情報ですが、1/2と言えるでしょうか？

私はこんなことで悩んでいます。

呑気な父さんのモデル化を使えば、日本語のニュアンスに影響を受けずに問題を考えられますね。わたしもいまだ同じような疑問を払拭できずにいます。

昨夜わたしが解答は 1/2 になるかもしれないと申し上げたのは、呑気な父さんのモデルのなかの問題２に相当すると思います。しかしそれは拙速だったようです。プログラムで実験してみるとやはり 13/27 という答えになりました。

使ったプログラムはつぎのとおりです。other が「もう一人」を意味します。


import random

Sex = ['Girl', 'Boy']
Day = ['Sun', 'Mon', 'Tue', 'Wed', 'Thu', 'Fri', 'Sat']

n = 0
total = 0
gg = 0

while n < 1000000:
　　child1 = (random.choice(Sex), random.choice(Day))
　　child2 = (random.choice(Sex), random.choice(Day))

　　if child1 != ('Girl', 'Sun') and child2 != ('Girl', 'Sun'):
　　　　continue

　　if child1 == ('Girl', 'Sun') and child2 != ('Girl', 'Sun'):
　　　　other = child2
　　elif child1 != ('Girl', 'Sun') and child2 == ('Girl', 'Sun'):
　　　　other = child1
　　else: # Both child1 and child2 are Sunday girls
　　　　other = random.choice([child1, child2])

　　total += 1
　　if other[0] == 'Girl':
　　　　gg += 1

　　n += 1

print(' 13 / 27 = ', 13 / 27)
print('Probability of Two Girls = ', gg / total)


わたしはまだ問題の本質がつかみきれていないようです。失礼しました。

И