同位角が等しくなるのはどうして？｜掲示板スレッド

数学的には正しい証明とは言えない（平行線の定義に関わる）かもしれないのですが、お子さんに分かりやすく説明するなら、

平行線の片方に垂直な直線は、もう一方の直線にも垂直であるということが分かっているとして、

２本の平行線に垂直な直線を１本引いて、同位角の対象となる直線と垂直線との交点を頂点とする２つの直角三角形を作る方法はいかがでしょうか？

すると、
同位角ａ＝１８０度−頂点の角−９０度
同位角ｂ＝１８０度−頂点の角−９０度
となり、同位角ａ＝同位角ｂが証明できます。

数学的なことは分かりませんが、私ならすご〜く簡単に説明します。

平行線の間隔をどんどん縮めていきます。
0,1mm　0,01?　0,001?　とね。

限りなく間隔を縮めると、平行線がほぼくっつきます。

そして、同一の直線になります。
同位角も、もちろん同じ角度です。

なんていうのは、いかがでしょうか？

チューリップ さんへ:
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> 新４年の子どもが、「どうして２本の平行線と、それと交わる直線が作る角のうちの同じ位置にある角（同位角）の大きさが等しくなるのかわからない」といいます。


大変な問題に首をつっこんでしまいましたね。そこに疑問を持つのは相当のセンスです。
「ユークリッドの末裔」さんの説明で間違いありません。
「同位角が等しくない」というルールでも矛盾のない幾何学（非ユークリッド幾何学）が
成立します。
数学の根本に関わる問題なので、可能であればきちんと教えておきたいところです。
うちの娘は、非ユークリッド幾何学の存在までは納得したようで、
「数学では矛盾のない論理体系を構築することが重要」であることは身についています。
一応、球面幾何学とか相対性理論との関係についても（小学生にわかる程度で）
教えてみたのですが、それは記憶に残ってないようです。当たり前ですかね（笑


テキストに書いてあることを鵜呑みにせず、「なぜ」と疑問に思う態度は大切です。
ぜひ、その芽をつぶさないように教えてあげてください。

スレ主です。


みなさま、短時間の間にわかりやすいご説明やズバリのご回答をありがとうございました。ユークリッドの末裔さまの「平行線の公理」と等価というご指摘でいきなりすっきりしました。


これまで算数＝四則演算（苦笑）だった娘にとって、「平行」も「同位角」も初めてで、余計に理解し難いものだったようです。
元受験生の父さまのご紹介くださったＨＰも親切な内容ですね。
結局娘には、平行線の間隔を縮めていく、通行人さま方式で説明をしました。すっきりはしていないようですが、問題数をこなしていくうちに慣れてくるのかもしれません。時間をおいて、もう一度きっちり説明しようと思っております。

ねむりひめさまのおっしゃる通り、
＞「数学では矛盾のない論理体系を構築することが重要であること」
が身につくことは数学と関わっていく上でとても大切ですね。


いろいろと大変参考になりました、どうもありがとうございました。

小学生で分かる例としては：

大きな球を考えます。
この球面に互いに交わらないように
2つの円を描いて考えてください。

そしてこの2つの円に交わるように
3番目の円を描きましょう。

同位角は等しくありませんよね。

この球が無限に大きくなった様子を考えてください。

中学生の教科書には、おそらく

同位角の性質 ] --
平行な２直線に１つの直線が交わるとき
・２つの直線が平行ならば、同位角は等しい。
・２つの直線が平行ならば、錯角は等しい

平行線になる条件 ] --
２直線に１つの直線が交わるとき、次が成り立つ
・同位角が等しいならば、この２つの直線は平行である。
・錯角が等しいならば、この２つの直線は平行である。

の４つの記述から

同位角が等しい　⇔　平行
錯角が等しい　　⇔　錯角

という形で中学生に理解させたい様です。

実際には、非ユークリッド幾何学への展開もありますので、前述の方法で平行を定義する
ことに対して些かでありますが、不満に思います。

「同側内角の和が２直角より小さい時、それらの角がある側で２直線は交わる」
という公準から証明していくことで、一応納得いく説明が出来るかと思いますが、そもそも、
そのレベルから理解している学校教諭ばかりでないところを忘れてはなりませんし、それに、
教科書に書かれたように教えることが一番大切です。

たまに「平行な２直線の錯角・同位角はなぜ同じか」という中学生向けの読み物で２直線に
直交し、かつ平行な２直線に交わる直線とも交差する
補助線を引き、直角三角形を２つつくるというモノを見かけますが。。教科書で前述の４つを
学んだあと、それを勉強したら、人によっては混乱しそうですね

教える側、教わる側どちらも経験した身として言えば、、正直に全部教えて理解できる人と、
詰め込みが一番いい人とによって、平行証明から話すべきか否かが決まるとおもいます。

スレ主さんのお子さん、数学的な素質がありそうですね。将来が楽しみですね。
さて、平行線の同位角や錯角が等しい（かつ逆も成り立つ）ということがユークリッドの第５公準と等価だというのは正しいですが、スレ主さんのお子さんの疑問は、要するにこの等価性を示せ（厳密に言うと逆は示さなくてもいいので等価性ではないですが）ということなので「等価だから明らか」で済ますのはＮＧですよね。
ユークリッド原論では、錯覚が等しいなら平行、および平行なら錯覚が等しいということをきちんと証明しています。簡単な証明なので興味があるとそちらをお読みになるといいかと思います。

海江田＠海尉心得さんのご不満はちょっと同感。でも、非ユークリッド幾何を学ぶときには、そもそも「公理とは」というところから紐解いていくので、中学くらいまではユークリッドにべったりの教え方をしてもいいかな、とも思います。中学校の先生くらいに公理系の無矛盾性を語れるようになれというのは酷だと思いますし。

非ユークリッドさんの例はもしかすると勘違いなさってるかしらん。互いに交わらない円は、球面幾何の世界でも少なくとも一方は直線ではありませんよ。球面幾何の世界での直線は「大円」なので、全ての直線は２箇所で交わるんですよね。
球面幾何とユークリッド幾何の違いを実感できる例としては、「ある地点から南に１００キロ、次に東に１００キロ、最後に北に１００キロ移動したら元の地点に戻ってしまった。なぜか？」「最初にいた地点が北極だったから（別解あり）」という有名なクイズがありますね。つまり、三角形の内角の和が１８０度を超えるという話。

皆さんいろいろと書かれていますが、
あまり難しい事にはこだわらないでください。
ママ塾ですし、お子さんが混乱する原因になります。
楽しく解ける、面白い、そういった成功体験を積み重ねないと
お子さんが幾何学が嫌いになる原因となってしまいます。

物事には順序があり、今の算数は、
古代の人から考えられてきた内容を履修する算数の歴史でもあるわけです。
まずはユークリッドの考え方を押さえる事が大切です。
大人はついついマクロな視点から物事を考えがちですが、子どもはミクロの世界しか見ていません。
質問からはこのお子さんがどの程度幾何学を理解した上での質問かはわかりませんね。

ですから平行線とはどういったものか、
ユークリッドの考え方を押さえる事が肝心です。
そしてそこから考えて行けば自ずと答えが出てくるはずです。
「ハンズオン」さんのやり方は頭に残ってとても良いと思いますし、
もう少し算数が好きなお子さんなら「数学的には・・・ですが」さんの考えも面白いと思います。

ここをきちんと把握した上で、
お子さんから平行線って本当に交わらないの？等と根幹にかかわる質問があるようだったら
皆さんがおっしゃっているようなその次の段階へ進めば良いでしょう。
それでも球を使った説明等具体的で簡単な物の方が良いです。

ちなみに、「元受験生の父」さんがおっしゃるように、
同位角が基本ですのでこれくらいは押さえておいた方が良いと思います。
錯角から説明なさることのありませんように。