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【4341155】場合の数の問題

投稿者: カンガルー   (ID:Ejxf.UBbCDQ) 投稿日時:2016年 11月 29日 20:45

先日某校に見学に行った際にいただいてきた冊子に載っていた問題なのですが、解き方が分からず子供と一緒に悩んでいます。



1.カードに4けたの数が書いてあります。
2.各けたの数字は1、2、3のいずれかです。
3.全ての数のカードがありますが、同じ数のカードはありません。(全部で81枚)
4.3枚のカードの数の和の全てのけたが3の倍数になるときセットと言います。

(1)セットは何通りありますか。
(2)セットが含まれるような4枚のカードの組み合わせは何通りありますか。

一応答えは(1)1080通り (2)84240通り となっていて、(2)の設定を5枚以上にするとすごく難しくなるそうです。

みなさまよろしくお願いします。

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  1. 【4341300】 投稿者: 素人かあさん  (ID:51kyG/71ROk) 投稿日時:2016年 11月 29日 21:51

    難しい問題ですね~
    こんなのテストに出たら、私なら捨て問題としてパスしちゃうかも・・・
    がんばってこんな風に解いてみました

    (1)わかりやすいように3枚のカードの数字をそれぞれ
       ABCD
       EFGH
       IJKL
       とします
       1と2と3の組み合わせで3の倍数になるのは
       111、123、132、213,222,231,312,321,333
       の9種類ですから
       AEIはその9種類のうちの一つです。
       同じようにBFJも9種類のうちの一つです。
       CGK,DHLも同様ですから
       9×9×9×9=6561通りあります。
       ここで注意したいのが111,222,333の組み合わせの場合です。
       これらだけを組み合わせてしまうと同じ数字のカードになってしまうため
       3の条件に当てはまらなくなってしまうのです。
       だからこの3つだけの組み合わせを除外します。
       3×3×3×3=81通り
       6561-81=6480通りです。
       さらにこれは「組み合わせ」なので3×2=6 6で割る必要があります。
       6480÷6=1080通り

    (2)セットの数が1080通りあるのですから
       まずそのセットを一つ作ります。
       そして余ったカードから1枚付け足して4枚にすると考えます。
       そうすると
       1080(セットの数)×78(81枚からセットに使用した3枚を引いた数)
       =84240通り
       の組み合わせが出来る


    こんな風に考えてみました。
    間違っていたらごめんなさい。




       
       

  2. 【4341622】 投稿者: カンガルー  (ID:/gtVcymj4lI) 投稿日時:2016年 11月 30日 01:16

    素人かあさん様

    早速のご回答ありがとうございました!
    それにしてもわずか1時間ほどで回答されるとは。
    私などお書きにになった解答を理解するだけで数時間。
    さては素人ではありませんね(冗談です)。

    (1)は理解できました。自分で説明できるかとなるとまだ?かもしれませんが。
    (2)はこれで良いとすると、4枚のカードで2つ以上のセットはできない
    ということですね。うーんそこはまだ分かっておりません。

  3. 【4341730】 投稿者: 素人かあさん  (ID:51kyG/71ROk) 投稿日時:2016年 11月 30日 07:28

    おはようございます。
    なかなか文章で説明するのが難しくて・・・
    悩ませてしまったかもしれませんネ
    (2)についての指摘、確かに腑に落ちませんね。
    もうすこし考えてみます。
    受験算数に詳しい方の書き込みがあると良いのですが。

    私も子供たちが受験の時はよく算数を教えていました。
    受験算数って難しいですよね。悩まされました。
    今となってはそれも懐かしいです。
    スレ主様も頑張ってくださいね。
    それでは(2)が解決したらまた書き込みます。

  4. 【4341990】 投稿者: 素人かあさん  (ID:8p2OLJ/ARts) 投稿日時:2016年 11月 30日 10:08

    (2)の件なのですがわかったかも。
    今出先でスマホからの投稿なのでうまく説明出来るかわかりませんが…

    ABCDを(1)
    EFGHを(2)
    IJKLを(3)
    もうひとつの数字を(4)
    とします。

    セットには2つの数字が決まるともうひとつの数字が自動的に決まってしまうという特徴があります。
    例えば
    (1)→1212
    (2)→1112
    ならば、(3)は1312しかあり得ません
    このルールに従うと
    (4)に別の数字を持ってきたとき
    別の組み合わせでセットを作ることは出来ないと考えられます。
    うーん、やっぱり上手く説明出来ませんね…
    ごめんなさい。

  5. 【4342032】 投稿者: きゃりー神ゅ神ゅ  (ID:.QLMYaOkFvk) 投稿日時:2016年 11月 30日 10:34

    どのレベルの学校か知りませんが、合格者全体の何パーセントが解答できたかどうかです。

    合格者の殆どができなくて合格したならば、限られた時間内で合否を左右する問題ではない=没問 ということになります。勉強するのも考えるのも受験上はムダということです。笑



    w

  6. 【4342629】 投稿者: カンガルー  (ID:Ejxf.UBbCDQ) 投稿日時:2016年 11月 30日 18:24

    素人かあさん様

    > セットには2つの数字が決まるともうひとつの数字が自動的に決まってしまうという特徴があります。

    これで分かりました!
    4つのカードには2つ以上ののセットが含まれない理由は、

    4つのカードに3枚からなるセットが2組含まれているとすると、そのうち2枚は重なっている。よって重なっていない2枚は同じカードということになり、同一カードはないという設定に反する。したがって4つのカードには高々1つのセットしか含まれない。

    というので良さそうです。この説明は小学生には難しすぎるかもしれませんが。
    帰宅した子共に伝えたところ、だったら(1)は

    セットの並べ方は 81×80×1 通り
    3枚の入れ替えがそれぞれ6通りなので6で割ると 1080通り

    という方法でも解けると言って喜んで(悔しがって?)いました。

    ちなみにこの問題は学校公式の資料ではなくて、生徒の団体作成の資料に載っていたもの(を修正したもの)ですので、受験問題としての難易度の適切さは考慮されていないと思われます。

    素人かあさん様に改めて感謝申し上げます。

  7. 【4342941】 投稿者: 素人かあさん  (ID:51kyG/71ROk) 投稿日時:2016年 11月 30日 22:54

    そうです!その通りです!あんな適当な説明で理解してくださって
    そのうえ私よりずっと上手に解説してありますね。
    私も書きながら「これを小学生に理解させるのは難しいのではないか」
    と感じていたのですが、スレ主様のお子様は理解できたのですね。
    お役に立ててよかったです。
    この問題はクイズとして考えるととっても楽しいのですが、
    (時間の限られる)入試だったら嫌ですね(笑)
    今回はスレ主様が答えを書いてくださっていたので私でもなんとか解くことが出来ましたが、答えがなかったら無理でした・・・。
    久々に頭を使って楽しい時間が過ごせました。
    受験&受験サポート頑張ってくださいね!

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