渋幕中の算数で円周角？｜掲示板スレッド

円周角の定理は、定理としては習わなくても、そもそも円周角の定理の証明が三角形の外角の関係だけで証明できてしまうので、使い放題だと思います。

でも、この問題はそんなもの全く使わなくても解けると思います。
正三角形の頂点Ｅ、Ｂ、Ｄからそれぞれ時計回りにＡ、Ｃ、Ｚ（新設）のように３ｃｍの辺を作ってみると、四角形ＥＡＢＣの形の等脚台形３つを重ねた形の図形（ウールマークみたいな形）が浮かび上がり、ＥＣにも線を引いてみると交点Ｆの両側の三角形が正三角形である事は容易に判るので、ＡＤ＝３＋５＝８と判ります。

そう考えると、実はこの図形の点Ｃとその両側の辺は図示されていなくても良い問題だと気づきました。蛇足な説明なわけです。しかし、Ｃが打ってある事により、ＥＡＢＣの台形に気づきやすくなります。これはサービスヒントなんじゃないかなぁと思います。

算数おもしろいさん

これはすごい！まったく気づきませんでした。

> ＥＣにも線を引いてみると交点Ｆの両側の三角形が正三角形である事は容易に判るので

ここのところに少し悩んでしまいましたが、たしかに平行線の錯角と等脚台形の性質だけで示せました。確かにこちらの方が模範解答っぽいですね。ありがとうございました。
円周角の定理自体も、小学生でもあまり抵抗なさそうということで理解しました。

メネラウスの定理の方は、例えば、

三角形ABCの辺AB、AC上にそれぞれ点D、Eがあり、AD：DB = 1：1, AE：EC = 1：2です。BEとCDの交点をFとします。 CF：FD を求めてください。

なんていう問題を小学生が解く場合、メネラウスで解くのが良いか、面積で解くのが良いか、はたまた補助線を引くのが良いか、ということが気になっております。この手の問題は速さとかでも出てくるので大事だと思うのですが、ご意見いただけると幸いです。

メネラウスの定理って実際には使いにくいですよね。
私も偶々最近、これをどう利用するのか調べていたのですが、
結局あちこちの情報を総合すると、メネラウスより面積と辺の比
で考えたほうが理解しやすいし、それで代用できるし間違いも少ない。
という辺りが結論のように思います。

算数おもろい（←前の投稿で間違えていました、すみません）さん

そうそう。メネラウスってどう使うと欲しい比が出てくるのか直観が働かないのが問題ですよね。使わなくて済むならその方が良いかもしれません。
私が中学生を教えたときの経験では、補助線としてDを通るBEと平行な直線を引くっていう方が分かりが良さそうだったのですが、小学生は面積のほうが慣れているのでしょうか。でも、面積で解くとどこの部分の面積同士の比なのか、書き込みがごちゃごちゃしてきて混乱しやすいんですよね。
最近の中学受験生はどうやって解くのがトレンドなのでしょうか？

ところで円の問題に戻りますが、算数おもろいさんの点Zをとった図形は、ちょうど立方体の中心を通る断面として出てくる図形だということに気づきました。実は5番がそういう問題なので、きっと同じ先生が作られたのではないかと想像しています。5番の（２）はやはり等脚台形が出てきて、灘の問題みたいで面白いのですが、計算がごちゃごちゃするので時間内に解ける人はほとんどいなそうです。（ご存知かと思いますが問題は四谷のサイトに載っています。）

上の投稿ですが、「立方体の中心を通る断面として出てくる」は誤りで、単に「立方体の断面として出てくる」でした。

中学数学を使うと簡単で小学校範囲での説明が難しい。
昔、子供と問題を解いている時に悪問だなあと嘆いたものです。
等脚台形から平行を示し、平行四辺形、正三角形、
３＋５で８は、円周角の知識が邪魔をして大人は
かえって説明に困りますね。

この問題、同じ形の三角形の対応する角が
等しいので、同じ角に記号をどんどん書いて
行くと、なんとか正三角形を示せるようです。

掲示板で説明するのは骨が折れるので
とりあえず以上です。