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【2267359】数学  解き方教えてください。

投稿者: 345   (ID:KFeVoX8/cTU) 投稿日時:2011年 09月 15日 21:42

1以上100以下の奇数をすべて掛け合わせた数の下3桁を求めよ。

答えは875なのですが解き方がわかりません。

どうかわかる方教えてください。

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  1. 【2267396】 投稿者: まあ落ち着いて  (ID:66L.bVrn9vI) 投稿日時:2011年 09月 15日 22:17

    どこの問題か教えてください。
    興味があります。
    ちなみに求める数は(5×25を因数に持つので)125の倍数です。
    この段階で125、375、625、875しか候補はありません(奇数でもあるから)。
    あとは8で割った余りを考えて、結局1×3と合同な875だけが残ります。
    大学入試ならそれほど難問ではないと思いますが、高校入試で自力で解けるなら相当でしょうね。

  2. 【2267514】 投稿者: まあ落ち着いて  (ID:66L.bVrn9vI) 投稿日時:2011年 09月 16日 00:06

    念のため補足しておきます。
    奇数列の各項
    1、3、5、7、9、11、…
    を8で割った余りは
    1、3、5、7、1、3、5、7、1、3、5、7、…
    と循環します。
    項数が50であることに注意すると
    {1、3、5、7}の組が12個と{1、3}が一つ(これは97と99の余りに相当)並ぶことになります。
    1×3×5×7=105で
    105=8×17+1に注意すると求める数を8で割った余りは
    1×1×1×1×…×1×3=3により3であることがわかります。
    1000=8×125
    また
    125=8×15+5
    375=8×46+7
    625=8×78+1
    875=8×109+3
    より、求める数は1000n+875の形であらわせるというわけです。
    (もちろんnはある自然数)

  3. 【2267609】 投稿者: スレ主  (ID:KFeVoX8/cTU) 投稿日時:2011年 09月 16日 06:36

    まあ落ち着いて様

    教えていただいてこころより感謝いたします。

    これだけわかりやすい解説、すごいです。

    大変優秀な方なのだと感じました。

    この問題は、中学生の子供の塾の問題集からとってきました。


    ところで

    1×1×1×1×…×1×3=3により3であることがわかります。

    とありますが、あまり同士をかけるということになるのでしょうか。

    大変ご迷惑をかけますが、もしできましたら、教えてください。

  4. 【2267666】 投稿者: まあ落ち着いて  (ID:66L.bVrn9vI) 投稿日時:2011年 09月 16日 08:37

    8で割った余りが1の整数と3の整数をかけてみると(m、nをある整数として)
    (8m+1)(8n+3)=64mn+24m+8n+3=8(8mn+3m+n)+3
    とすることができます。
    8m、8nの部分は積を8で割った余りには無関係で、結局1×3を8で割った余りだけ考えることになります。
    このことは一般に「積の余りは余りの積の余り」であると表現することもあります。
    これらは「剰余系と合同式」を導入するとよりすっきり説明できますが、上記のように文字式の応用としてあらわすことも可能です(だから高校入試でも反則にはならない)。
    私が指導するのはほとんど大学入試か中学受験の生徒なのですが、高校入試でもこういう問題を扱えるなら楽しそうですね。

  5. 【2267739】 投稿者: スレ主  (ID:KFeVoX8/cTU) 投稿日時:2011年 09月 16日 10:01

    再度ご指導いただきありがとうございました。

    とてもわかりやすく理解できました。

    こころより、感謝いたします。

    ありがとうございました。

  6. 【2267768】 投稿者: まあ落ち着いて  (ID:66L.bVrn9vI) 投稿日時:2011年 09月 16日 10:38

    恐縮です。
    レベルが高い学校ほど当たり前のことをしっかり聞いてくるという構図は、どの段階の試験でも共通しているようですね。

  7. 【2267787】 投稿者: これって  (ID:HbYStxUHyl2) 投稿日時:2011年 09月 16日 11:09

    Jr.数学オリンピックの問題のようですよ。
    他のサイトでも解法が載ってます。

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