巣鴨の算数選抜！難問を合格者はどう解いたのか？

「塾のテキストをやり込めば勝機あり！」ハイレベル問題の解説スタート

算数選抜の出題は大問5問からなり、大問1・2の計算問題や小問集合を終えると、一筋縄では行かない問題が待ち受けています。生徒によると、「塾のテキストを授業で扱わない問題までやり込めば対応できる」とのこと。なかなかにハイレベルな入試のようです。

「立体図形」難問のカギは簡単な小問(1)にある！

大問4は立方体の内部を平面図形または立体図形が動いたときに通過した部分の体積を求めるというもの。各問を順番に見ていきましょう！

森山先生正解です。斜めに傾いた形状でも、真っすぐの四角柱と同じ要領で体積が求められる……これは基本と言っていいでしょう。

長南くんこの問題では、立方体Yが立方体Xの面ABCD上を移動することに着目しました。面ABCD上を通過した部分にできる図形をまずイメージし、その面積×高さ（立方体Yと同じ1cm）で7cm³と答えを出しました。大問4はここまで解答して(3)は飛ばしました。

爲貝先生なるほど。実は(2)でその解き方を選んでしまうと、(3)の解法は見えづらくなってしまうでしょうね。実は(1)のシンプルな考え方を(2)(3)に応用すれば正解が見えるように作問してあるのです。

爲貝先生(1)では面の移動で立体ができることに着目しましたが、立体の移動についても、同じ原理で移動した跡にできる立体を考えることが可能です。立体を複数の面の集まりだと捉え、複数の面がそれぞれ移動して立体を形づくるという発想を持ってみましょう。

長南くんそうなると、高さが3cmで底面積が1cmの四角柱が3個あるわけですね。

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森山先生この3個の四角柱の体積には最後の位置に収まった立方体の体積は含まれていないので、それらの合計に1cm²も最後に足しましょう。すると、10cm³。正答率は32%でしたが、(1)の簡単な問題にヒントがあるわけです。

大問5「数の性質」最終問題は正答者10人の超難関

大問5は見開き2ページに及ぶ会話文の中で数の性質に関する議論を深めるという形式の問題。その要旨をご説明します。

会話文は、数の操作のルールを提示するところから始まります。

こちらのルールは10以上の整数の各位の積を計算し、「＜元となる整数＞→その答え」という図式で表すというもの。例えば、13なら1×3=3となるため、「＜13＞→3」と表します。

ただし、元の整数からこの処理をしていく過程で1ケタずつ小さくなるもの以外は＜A＞の形で表さないというルールも設けます。

具体的には、167は1×6×7=42、42で再度計算して4×2=8と3ケタから2ケタへ、2ケタから1ケタへと変わっていくので「＜167＞→8」が成立します。

反対に、116は1×1×6=6といきなり1ケタの解が出てしまうため「＜116＞→6」は不成立という扱いになります。

このルールで処理して＜A＞=5となる最大の6ケタの整数を探すことが、こちらの問題の最終目標です。つまり、各位の数をかける処理を繰り返し、6ケタから5ケタに、5ケタから4ケタへと、だんだん小さくなり、最後に5になる整数を探すという難問になっています。途中経過の小問は多くの受験生が得点していましたが、最後の問題の正答者は10人ほどでした。

「因数分解」と「並べ替え」を応用して解く！

ではこちらも検討していただきましょう。

「数と遊ぶ感覚を大切に」作問者からのメッセージ

最後に数学科の爲貝基文先生からのメッセージをお届けします。

爲貝先生算数選抜合格に大切なのは、「数と遊ぶ感覚」です。この整数の約数はいくつあるのかな、この問題は解説された以外にどんな解き方があるのかな……。そうやって数に親しむ習慣があれば後半の問題も解けると思います。サッカーが好きな子がボールにずっと触れているように、数について考えている。そんな受験生の方にとっては、非常に面白い入試なのではないでしょうか。

編集後記

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