場合の数の難問教えてください。｜掲示板スレッド

立教にこれに似た問題があったな

細かく場合分けというのが，どのくらいの事を言うのか分かりません。
全く場合分けをしないのは，現実的でないと思いますので，
高校生くらいに解説するつもりで解答を作ってみました。どうでしょう？

（１）　３回とも同じ目が出るとき（例　ａ，ａ，ａ）
　　　２回終了時に全てのカードは最初の状態に戻っているので３回目に３の目が出なければならない。
　　　　つまり３回とも３の目。

　　　　　　よって，１通り。

（２）　同じ目が２回，違う目が１回（例　ａ，ａ，ｂ）
　　　（１）と同様で同じ目ａの２回分の操作により，最初の状態と同じになる。
　　　　　よって，違う目であるｂが最終的に赤いカードの枚数になる。
　　　　　つまり，ｂ＝３。
　　　　　また，ａは３以外のいずれの数でも良いからａ＝１，２，４，５，６
　　　　　さらに，ａ，ａ，ｂの並べかえは３通り。
　　　　　ゆえに，　１×５×３＝１５通り

（３）　３回とも違う目が出る（例　ａ，ｂ，ｃ）
　　　　３つの数のうち一番大きい数に着目。例えばａ＜ｂ＜ｃとすると，
　　　　ｃによってｃ枚が赤くなる。赤いカードが最終的に３枚であるためには
　　　　ｃ－（ｂ－ａ）＝３であることが必要。
　　　　よって，ｃ－３＝ｂ－ａ
　　　　この条件を満たすように場合分けをしていく。
　　　　　ｃ＝３のとき，ｂ－ａ＝３－３＝０　これはａ＝ｂであるからａ＜ｂに矛盾。
　　　　　ｃ＝４のとき，ｂ－ａ＝４－３＝１（ａとｂの差が１ということ）
　　　　　　　このとき，（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，２，４），（２，３，４）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これが２通り。
　　　　　ｃ＝５のとき，ｂ－ａ＝５－３＝２（ａとｂの差が２ということ）
　　　　　　　このとき，（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，３，５），（２，４，５）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これが２通り。
　　　　　ｃ＝６のとき，ｂ－ａ＝６－３＝３（ａとｂの差が３ということ）
　　　　　　　このとき，（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，４，６），（２，５，６）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これも２通り。

　　　　　このａ，ｂ，ｃの並べ方はそれぞれ３！＝３×２×１＝６通り。
　　　　　よって，（２×３）×３！＝６×６＝３６通り。

（１），（２），（３）より，
　　　　　　１＋１５＋３６＝５２通り。

ちなみに，出る目の順序が変わっても結果は同じであることは自明としてあります。

これは実は、今年の灘中学の２日目の問題です。

私は、
１番は必ず赤になるので、残り２枚が赤になる組合せは、５C２で１０通り。
例えば、１番２番３番が赤になる場合は、
２番と３番をそれぞれ３回裏返す場合（３３３、４４３、５５３、６６３）
２番と３番をそれぞれ１回のみ裏返す場合（３１１）
２番を３回、３番を１回裏返す場合（３２２）
よって５×３＋１＝１６通り

次に１番２番４番が赤になる場合を考えるという手順で１０通りの場合をすべて調べて解いたのですが、時間がかかってしまい、実際の入試ではとても間に合わないと困っていました。

「うまくないですが」さんの解き方は、とても機能的で素晴らしいですね。
もしかして、プロの方でしょうか。
分かりやすく教えていただきありがとうございます。

ただ、ほかにも解き方があるかもしれませんので、引き続き解き方を募集しますので、よろしくお願いします。

１番はさいころの目が何であっても３回ひっくり返るから赤になる。
３回のさいころの目の組み合わせが同じなら，結果は目の出る順番には関係しない。
さいころを３回ふるので，色の変化は２箇所または６番が白なら３箇所である。
したがって，最後のカードの色の状態と目の出方は，
・・・・・・
赤赤赤白白白＝３同同
赤赤白赤白白＝２３４
赤赤白白赤白＝２４５
赤赤白白白赤＝２５６
赤白赤赤白白＝１２４
赤白白赤赤白＝１３５
赤白白白赤赤＝１４６
のいずれかである。
３同同は３３３か３(３以外)(左と同じ)なので，
１＋３×５＝１６通り
ほかはすべて，３×２×１＝６通り
したがって，１６＋６×６＝１６＋３６＝５２(通り)

少し訂正
赤赤赤白白白は
赤が３枚になって，あとの２回は同じ目が出て色が元に戻る場合で，
色の変化は１箇所です。

目の順番には無関係さん
分かりやすい解説ありがとうございました。
お陰様でうちの子にも理解できたようです。

出た目を小さいほうから　Ａ≦Ｂ≦Ｃ　とすると、
Ａ以下の番号のカードは３回裏返るのですべて赤。
よって、１≦Ａ≦３


① Ａ＝１のとき、Ｃ－Ｂ＝２
　　Ｂ,Ｃ ＝ １,３　　２,４　　３,５　　４,６


② Ａ＝２のとき、Ｃ－Ｂ＝１
　　Ｂ,Ｃ ＝ ２,３　　３,４　　４,５　　５,６


③ Ａ＝３のとき、Ｃ－Ｂ＝０
　Ｂ,Ｃ ＝ ３,３　　４,４　　５,５　　６,６


で場合分けしました。
後は皆さんと同じです。