1以上100以下の奇数をすべて掛け合わせた数の下3桁を求めよ。
答えは875なのですが解き方がわかりません。
どうかわかる方教えてください。
神田女学園中学校高等学校
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7コメント
数学 解き方教えてください。
-
【2267396】投稿者: まあ落ち着いて(ID:mN1DFDzsSJg)投稿日時:どこの問題か教えてください。
興味があります。
ちなみに求める数は（５×２５を因数に持つので）１２５の倍数です。
この段階で１２５、３７５、６２５、８７５しか候補はありません（奇数でもあるから）。
あとは８で割った余りを考えて、結局１×３と合同な８７５だけが残ります。
大学入試ならそれほど難問ではないと思いますが、高校入試で自力で解けるなら相当でしょうね。 -
【2267514】投稿者: まあ落ち着いて(ID:mN1DFDzsSJg)投稿日時:念のため補足しておきます。
奇数列の各項
１、３、５、７、９、１１、…
を８で割った余りは
１、３、５、７、１、３、５、７、１、３、５、７、…
と循環します。
項数が５０であることに注意すると
{１、３、５、７}の組が１２個と{１、３}が一つ（これは９７と９９の余りに相当）並ぶことになります。
１×３×５×７＝１０５で
１０５＝８×１７＋１に注意すると求める数を８で割った余りは
１×１×１×１×…×１×３＝３により３であることがわかります。
１０００＝８×１２５
また
１２５＝８×１５＋５
３７５＝８×４６＋７
６２５＝８×７８＋１
８７５＝８×１０９＋３
より、求める数は１０００ｎ＋８７５の形であらわせるというわけです。
（もちろんｎはある自然数） -
【2267609】投稿者: スレ主(ID:tzI.B4IiL1E)投稿日時:まあ落ち着いて様
教えていただいてこころより感謝いたします。
これだけわかりやすい解説、すごいです。
大変優秀な方なのだと感じました。
この問題は、中学生の子供の塾の問題集からとってきました。
ところで
１×１×１×１×…×１×３＝３により３であることがわかります。
とありますが、あまり同士をかけるということになるのでしょうか。
大変ご迷惑をかけますが、もしできましたら、教えてください。 -
【2267666】投稿者: まあ落ち着いて(ID:mN1DFDzsSJg)投稿日時:８で割った余りが１の整数と３の整数をかけてみると（ｍ、ｎをある整数として）
（８ｍ＋１）（８ｎ＋３）＝６４ｍｎ＋２４ｍ＋８ｎ＋３＝８（８ｍｎ＋３ｍ＋ｎ）＋３
とすることができます。
８ｍ、８ｎの部分は積を８で割った余りには無関係で、結局１×３を８で割った余りだけ考えることになります。
このことは一般に「積の余りは余りの積の余り」であると表現することもあります。
これらは「剰余系と合同式」を導入するとよりすっきり説明できますが、上記のように文字式の応用としてあらわすことも可能です（だから高校入試でも反則にはならない）。
私が指導するのはほとんど大学入試か中学受験の生徒なのですが、高校入試でもこういう問題を扱えるなら楽しそうですね。 -
【2267739】投稿者: スレ主(ID:tzI.B4IiL1E)投稿日時:再度ご指導いただきありがとうございました。
とてもわかりやすく理解できました。
こころより、感謝いたします。
ありがとうございました。 -
【2267768】投稿者: まあ落ち着いて(ID:mN1DFDzsSJg)投稿日時:恐縮です。
レベルが高い学校ほど当たり前のことをしっかり聞いてくるという構図は、どの段階の試験でも共通しているようですね。
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