なぜ私立の中高一貫校生が塾に通うのか？

そら、ついていけないから通塾する人やら、そこの学校の授業じゃ物足らない人で更に上のレベルを目指して通塾する人やら様々ですよ。
当然、公立よりは進度が早くレベルが高い授業が多いから私立に行って無駄ではないし、環境を買う意味で私立に行く人も居るのでは？
中受時から伸びしろある人がまじめにやれば、中堅校からでも医学部に届く人も出てきます。なおのこと、予備校通いは必要になるよね。
要は、人それぞれ通塾の理由があります。

＞公立よりは進度が早くレベルが高い授業が多いから私立に行って無駄ではない

でも私立校によっては、先取りによって子供たちが理解が不十分なまま学年が上がって行ってしまうデメリットに気付いて、先取りを廃止して公立と同じような進度で、ただし「丁寧に」授業を行う方向に舵を切ったところもあります。

私立もいろいろで、かつての「進度が早い」「レベルが高い」一辺倒のイメージは見直した方がいいかもしれません。
もちろん、難関校は以前のイメージ通りだとは思いますが。

先取りを廃止した私立があるって掲示板でよく聞くけど
具体的にどこですか？
私は聞いたことがないので

いつもの自作自演の奴だから。

＞なぜ私立の中高一貫校生が塾に通うのか？

本当に謎だな。
学校が頼りにならないなら
何のために大金払って私立中学に通わせたんだよ。

テストの度にクラス順位や学年順位をバンバン通知する（貼り出しもある）から。
幸いうちの子はいつも上位だから気にしないけど、中下位だったら塾に行かせたくなると思うな。
別に塾に行かなくても真ん中より上にいればそこそこの大学には入れる学校なんだけどね。

面倒見系の女子一貫校ですが、授業内容は低レベルです。とくに理数系が弱いです。
理科の男性教師は、教科書に赤線を引かせるだけです。質問しても答えられません。娘が化学の模試の問題について質問したら、「ぼく専門外だから」と謎の回答。その人、大学は某横浜の公立大学出身ですが、推薦入学だったから、厳しい受験勉強の経験がゼロ。それにしても大学出ているのに高校の問題を「専門外」って何？。
数学の某女性教師は、模試の問題で、解答例がまだ届いていない段階だったから、答えられず、「今忙しいの！わからないの！」と逆ギレ。できる生徒の質問は絶対に回避します。そしていつも定時（5時？）よりも早く（4時頃）には早々と退出するので、だれも質問できないようにシステム化されてます。
その方は某私学の雄の大学（教育学部？）出身で併願校が都内某公立大学であったというのが自慢（？）。当然、難関国立大学の問題なんて解けないのでしょう。それだからかなのか、数3の授業で頻繁に立ち往生しています。
学年200人のうちわずか数名の国立難関大学志願者が、見かねて「教えてあげる」のです。しかし、そういう国立難関大学志願者は、早くから有名塾に入って切磋琢磨しているから、もともと授業は聞きたくないし聞いていない。
ちなみに授業を聞いていないと、「ぜったいに大学受験、失敗するよ」と謎の呪いの言葉を受験生に投げつけます。
　授業を聞かずに自習していると、しつこく質問が飛んできて、答えないと叱られるから、聞いているふりを時々しなければならず、それが集中を極度に妨げ結果的に受験勉強を妨げられます。1回60分の授業が苦行です。無駄な時間です。
中堅私立の一貫校から、難関大学を目指す人は、本当にだめだめ教師ばかりのひどい授業に耐え、自習時間を確保するのが大変ななかで塾にも通わなくてはならず、本当にたいへんですよ。
優秀な教師は外に出て公立に行きます。ダメダメ教師ばかり残って、何十年も同じプリントを使いまわし、何十年も同じ定期考査の問題を使いまわしてます。
当然、出口実績は急降下中ですが、入り口偏差値がそれにもまして急降下しているので、「入り口が低くて出口が高いお得な私立女子一貫校」と勘違いされています。そのうち、どんどん出口実績は下がると思いますけどね。

環境や意識の問題もありますが、私は一週間に１つは大手図書店で参考書を購入していました。
使うか使わないかは別にして。
親は日ごろ口うるさいにもかかわらずその点は全額レシートを出したら払ってくれました。