医科歯科か理１か｜掲示板スレッド

（-2+√13）/3でどう？

レスが付かないのは何かミスしてるからかな？
久々に数学の問題を解いて楽しかったので、解答を知りたいです。

面積を角度や長さではなく、求める比の式で表してみました。
以下方針です。

∠ABC=θ,BC=xとして正弦定理からsinθとcosθをxで表す。
さらにcosθを使ってABをxで表す。
ここで、AD/BC＝kと置いて、トレミーの定理からxをkで表す。
すると、x,sinθ,ABがすべてkで表せるので、
面積S(k)が最大の時のkを求めればよい。

その後2乗して微分。
計算は面倒だけど、因数分解の形を意識しながらやれば、
まぁおじさんでもどうにかこなせたつもり。
kの変域については先に答えをだして十分性を確認してすませました。

以上いかがでしょうか？


あと、スレ主には、少しでも自信があるなら是非理1に行って勝負して欲しい。
他人事だから言えることだし、所詮は匿名掲示板上での戯言だけどね。

＞（-2+√13）/3でどう？

正解です～パチパチ！




＞あと、スレ主には、少しでも自信があるなら是非理1に行って勝負して欲しい。


この問題は、東大受験生の解答率が高い部類で、６問の中で２番目に平均点が高い問題です。

スレ主さんが、この問題を解けないのであれば、医学部の比較的数学難易度の低いところを受験したほうがいい気がします。




＞数学の問題を解いて楽しかったので

素晴らしいですね！
私も数学と物理が好きだったので、問題を解くのが楽しい感覚はわかります。
今では、すっかり忘れてしまいましたが、、

お仕事もお忙しいでしょうから、「解答を直ぐに投稿するつもりもありませんので、気長に、、」と投稿しておきながら、解答を書き込んでしまいました。

呑気な父さんさんの途中までの解法から、直ぐに正答が出ると思っています（もう、出ていたかもしれませんね）


投稿を待たずに回答をしてしまったこと、、申し訳ありません。

答えを確認して頂きありがとうございます。
1時間位かけてどうにか答えを出しましたが、割と取り組みやすい問題だったとは。
　
やはりブランクを感じますね。
途中計算力がなさすぎて、先に進めている時間より、立ち止まって見直す時間の方が長くなっちゃいました涙。

すごいね。
私はまだ正解にたどり着いてない。
どうしても面積をあらわす式は複雑になる。

今日はワインを飲みながらラグビーＴＶ観戦です。

中学数学までの範囲＋αで解けるかどうか挑戦してみました。

実際に作図してみて考えてみたのですが、円に内接しAC=BC、AD//BC が成立する四角形は１つしか無いように思いました。

⊿ABCと⊿BCDは合同な２等辺三角形になるわけですが、その頂角と底角はそれぞれ３６度と７２度になり、それ以外の角度では２つの条件が成立しないように思われます。
弦ADの円周角が３６度となり、点A、点Dを含む弧BCの３の弦は等しくなり、その点から四角形ABCDの面積の最大化されていると判断しました。
そして上記からAD＝２COS(54)、BC＝２COS(18)となりました。

でも・・・・、
先に示された（-2+√13）/3　とは答えが違っちゃうんですよね・・・・・

う～ん、どこが間違ってるんだろう？

今日はゆっくり休みました。

丁寧に計算したら同じ答えになりました。良かった良かった。
計算を頻繁に間違える自分に呆れます。
大学受験をしたければ計算練習からやり直しですね。笑

Ｓ’をk=AD/BCの式にしましたが、t=cosθの２乗　と置いても解けそうです。

ーーーー
半径１の円に内接し、AC=BCの四角形ABCD
∠ＡＣＢ＝２θと置くと
0＜2θ＜π/2（AC-BDで作られる2つの二等辺三角形の内角の和より）
（以下、便宜上sinθ＝ｓ、cosθ＝ｃ、ｓ×ｓ＝ｓｓなどと書く）

BC=直径×cosθ=２ｃ
AB=BC×２sinθ=4cs
ＡからBCに下した垂線の足をHとすると
AH=AB×cosθ=4ccs
BH=AB×sinθ=4css
AD=BC-2BH=２ｃｰ8css

k=AD/BCとおく
k=AD/BC=（２ｃｰ8css）/(2c)=1-4ss
　ss=（-k+1）/4
　cc=（k+3）/4
　cos2θ=cc-ss=（k+3）/4-（-k+1）/4=（k+1）/2
　
kはθが増大するとき単調減少であり、
√2/2＜（k+1）/2＜1
√2-1＜k＜1

面積S=（AD+CD）/2×AH=（4ｃｰ8css）4ccs=16cccs-32cccsss
Ｓ’=-48ccss+16cccc+96ccssss-96ccccss
　　=16cc（-3ss+cc+6ssss-6ccss）
　　=（k+3）（-3（-k+1）+（k+3）+6（-k+1）（-k+1）/4-6（k+3）（-k+1）/4）
　　=（k+3）（3k-3+k+3+3（ｋｋ-2ｋ+1）/2+3（kk+2k-3）/2）
　　=（k+3）（3kk+4k-3）
0＜k+3なので3kk+4k-3=0となるkを求める
（k+2/3）（k+2/3）=1+4/9
ｋ=（-2±√13）/3
√2-1＜k＜1なのでｋ=（-2+√13）/3
このときのθをφとするとcos2φ=（1+√13）/6

θ　　0　　 　φ　　　　　π/4
Ｓ’　　　 ＋ 　　　0　　　－　　
Ｓ 　増大　　極大　　減少　

となり題意を満たすのでｋ=（-2+√13）/3