今年の問題のウラ技を教えてください。理系４番です｜掲示板スレッド

東大の掲示板なんてあったのですね。レスがつかないようなので、ちょっと書かせてもらいます。　
　
東大の４番を読売オンラインで確認して解いてみて、裏技をUBQのブログに見に行きましたが、あれは解き方と呼べる説明ではないですね。
小問（２）のことがわからないのだと思いますが、これは普通にＶ－Ｗ＝Ｘとおいて、Ｘ→0を示すのでしょう。
Ｘの部分を正面から積分しようとすると大変なので、０＜Ｘ＜Ｙとなるわかりやすい立体でＸを囲んでしまいましょう。
底面２×２、高さ（√（ａ^2+1）-ａ）の直方体でもいいですね。
√（ａ^2+1）-ａ＝1/（√（ａ^2+1）+ａ）→0ですから、Ｙ→0は簡単に示せます。よってＸ→0です。
ほかに、０＜Ｘ＜Ｗ×2/πとする方法もあります。簡単に示せますので考えてみてください。

＞ほかに、０＜Ｘ＜Ｗ×2/πとする方法もあります。簡単に示せますので考えてみてください。
　
訂正

ほかに、０＜Ｘ＜Ｗ×2/πａ、Ｗ×2/πａ→0とする方法もあります。簡単に示せますので考えてみてください。

ひょっとして小問（１）に関心があるかもしれないので、書いておくよ。
　
代々木ゼミナールが解答を公表している。
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/index.html
このとき、面積Ｓ(t)の計算で、半径ａが消えていることを見て気づいて欲しい。
二重丸の内側の半径はａ、外側の半径をｂとすると、直角三角形におけるピタゴラスの定理から
ｂ^2－ａ^2＝１　が任意のａに対して成り立つので当たり前といえば当たり前。
ａ→０とすると、ただの半円だよね。だから積分も球体の半分になる。
だけど、この問題では普通に積分すれば済む話だけどね。