掛け算の順番・単位について｜掲示板スレッド

どっちでもよいじゃん！と思います。
お悩み、ということは、お子さんがこの順序を理解に苦しんでいますか？
時が来ればこのコンセプトも軽々と理解するし、掛ける数、掛けられる数の順序を理解しつつ、自分の得意なほうの九九を使用して答えを出すようになると思います。
これに苦しんでいるなら、まだ時期が早いだけでは？

レスありがとうございます。
なかなかレスがつかないので、半分あきらめておりました。
私もHN：どっちでもよい様と同じく、どちらでも良いと思っております。

>お悩み、ということは、お子さんがこの順序を理解に苦しんでいますか？

子供は足し算の省略した形である（掛けられる数）×（掛ける数）に関しては良く理解しているようです。テストでもその順番で式を書き○はもらえます。
ただ、順番を逆にしたら、すべて×になることに対して、疑問を感じているようです。

実は、私自身も小学生の時、同じ疑問を持ち、テストでは教えられた順番で式を書き○をもらっていましたが、順番を逆にすると×ということに関しては、先生のほうが間違っていると勝手に思い込んでおりました。

複数の数学者が、出版物、あるいはネット上で、実名を公表した上で日本の算数の、掛け算の順番における教えかたを、誤りであると指摘しています。つまり、掛け算の順番にこだわるのは間違いであるということです。
そして、誤りであるとする理由も素人にもわかり易い納得のいくものです。



一方、《リトルスクールの良さは》のスレに登場したHN：数学者です様は、（掛けられる数）×（掛ける数）の順番で書いていなければ、数学的に間違いであるとされていらっしゃいます。
そして、《リトル…》のスレに登場した、保護者の方の中にも、そのようなお考えの方がいらっしゃいました。私自身、順番はどちらでも良いとする立場なので、その考え方は間違っていると、ご指摘もありました。
《リトル…》のスレでHN：数学者です様に、スレにある疑問?海外では日本と順番を逆に書くのが普通であることにに対するご意見を伺いたかったのですが、残念ながら、お返事は頂けませんでした。
また、数学者です様は、他の方の「集合論を学んだのですね」という問いかけもスルーされていらっしゃいます。
いろいろあり、《リトル…》のスレでは、スレの主旨からそれたところである、掛け算の順番に関することで、荒れてしまいました。そのため、本来ならば小学校算数の板にたてる内容ではありますが、こちらにお邪魔しております。


（掛けられる数）×（掛ける数）の順番で書いていなければ数学的に間違いであるって本当ですか？
もしそうならば、スレにある疑問?〜?にふれつつ、ご教授頂ければと思います。


誤解のないように一言付け加えさせてください。
小学校で（掛けられる数）×（掛ける数）と教えることは、それなりに意味があると感じております。足し算の延長線上で掛け算を考えた場合、子供にとって理解し易いものであると思います。
ただ、順番を逆に書いた場合、一律に×にすることに対する疑問です。

また、受験塾で（掛けられる数）×（掛ける数）にしなければいけないとすることに関しては、日本の公教育がそうである以上、それも宜しいかと思います。受験塾という立場上、×になるかもしれないリスクはさけたほうが良いですから。

また、考えかたが正しければ、掛け算の順番にはこだわらないという塾にも別の意味で共感します。

私見ですが、「子供が掛け算の意味を理解すること」を最大の目的として、
教育者は掛け算の順番にこだわるのだと思います。

上記?の問題の場合、意味を考えずに、３と４を拾って掛けてしまえ！
という処理をする子供はとても多いです。
たとえ答えが合っていても、これでは、成り立ちを理解して数を考えていること
にはなりません。
「一皿に３個のりんごがのっていて、それが4皿」という問題と、はっきり違う事
をわからせるために、多少言葉がややこしくても、掛けられる数と掛ける数を
区別する必要があります。

それでも、子供たちは、かごとりんごの絵などを見ながら教えられるので、
4個のりんごをひとまとまりになる「掛けられる数」、皿の数を倍数としての
「掛ける数」と捉えることに、そう混乱しないはずです。

大人の方が、「る」とか「られる」を字面でとらえるので混乱するわけです。

欧米やインドのことはよく知りませんが、
もし、子供が「掛けられる数」と「掛ける数」の説明をきちんとできれば、
日本でも、逆の掛け算が○となることはあるのではないでしょうか。

たとえば、上記?のボートの問題において、
一般的には、一艘のボートに乗る人数５を掛けられる数、ボートの数３を掛ける数
にするので、5×3となります。
ですが、もし、その子が、
「私は、配列する際の子供の数に着目し、一巡で並ぶ生徒の数３をひとまとまり
の掛けられる数とし、倍数となる５周の５を掛ける数にしました。」
と説明できれば、3×5でも○でしょう。
もちろん、そんな文章で説明する必要はなく、そのことがよくわかる図が添付して
あれば充分だと思いますが…。

確かに、3×5を、理由も聞かずに×にするのはおかしいかもしれませんが、
もし、問題文の脇に5人乗りのボートの絵が描いてあったら、
正解は5×3だけかもしれませんね…。

要は、子供が安易に数字を処理しないように、立ち止まって考えさせてあげれば
いいわけです。
高学年になって、特殊算などが出てきたとき、言葉の意味から数字がとらえられない
ようでは行き詰ってしまいます。
この特殊算の処理に、図式の説明を面倒くさがって、初めから方程式でどうか、
などという人が時々いますが、そういう話の根は、この掛け算の問題と同じ
ではないでしょうか？

まどろっこしくても、あくまでも量感や図から理解し、実感しながら数を動かす
習慣をつけないと、算数は難しいと思います。
しかも将来的には、算数で四苦八苦した経験あってこその数学だ、と私は思います。

　PS.?の単位は、掛け算の意味が全く違うので、ご心配いらないと思います。
　　

リトルスクールお世話になりました　様

丁寧なレス有難うございます。

>私見ですが、「子供が掛け算の意味を理解すること」を最大の目的として、
>教育者は掛け算の順番にこだわるのだと思います。

>上記?の問題の場合、意味を考えずに、３と４を拾って掛けてしまえ！
>という処理をする子供はとても多いです。
>たとえ答えが合っていても、これでは、成り立ちを理解して数を考えていること
>にはなりません。



私も全く同意見です。
掛ける数・掛けられる数の意味をわからず、とにかく掛けてしまえという子供にとっては、意味のあるものだと思います。




>欧米やインドのことはよく知りませんが、
>もし、子供が「掛けられる数」と「掛ける数」の説明をきちんとできれば、
>日本でも、逆の掛け算が○となることはあるのではないでしょうか



そうですね。私もそう思います。
（掛けられる数）×（掛ける数）の順番は、海外が一般には逆であることから、日本のローカルルールかなと思います。

何かの本で、掛け算は、同じ数を複数回足すこと、つまり疑問?のりんごの問題で言うと
４＋４＋４を省略して４×３と表したことに始まると読んだ記憶があります。
これが、古代の算術における掛け算の概念で、この時点では掛け算に順番はあり、４には個という単位がつくが、３は単なる３であって、３皿ではないという意味のことが記述されていたような気がします。あまり正確には覚えていないのですが…。

素人なので良く分かりませんが、古代の算術における掛け算の概念、４＋４＋４を４×３としたのが
日本語の文法、（４個が三つあるよ）にマッチしたので日本では一般的に４×３になり
海外では文法（語順）が逆なので、（三つあるよ４個が）の３×４が一般的になったのかなと、勝手に想像しておりました。
ただ海外では順番にはこだわらず４×３もOKとか…。


《リトルスクールの良さは》のスレで、数学者です様がおっしゃっていたのは、算術における掛け算の概念のことかなとも思いました。

でも、見当はずれだったら、ごめんなさい。数学のことは全く分かりません。




>たとえば、上記?のボートの問題において、…　問題文の脇に5人乗りのボー トの絵が描いてあったら、正解は5×3だけかもしれませんね…。




ご意見を頂いたのにこんなことを言ってごめんなさい。
私はこの場合でも３×５もOKです。

理由?　５×３とするのは、そもそも日本のローカルルールではないのかと思うこと。

理由?　問題がどうであっても、どんな絵がかいてあっても、いろいろなアプローチの仕方があると思うのです。
　　　　　人数を求める時、整数の数直線上で数を数えるように、５＋５＋５と考え、５×３としてもOK
　　　　　人数を平面上にひろがる点に置き換え（数を数えるというよりは量としてとらえ）５×３・３×５のどちらでも良いとしてもOK
　　　　　でもこれ、かなりひねくれていますね。



>要は、子供が安易に数字を処理しないように、立ち止まって考えさせてあげればいいわけです。



そうですね。私もそう思います。
そして、きちんと理解していても、掛け算の順番が、日本で一般に正しいとされているもの以外は、一律に×とするのが日本の教育ですね。



>PS.?の単位は、掛け算の意味が全く違うので、ご心配いらないと思います。



私もそう思います。
《リトルスクールの良さは》の数学者様がおっしゃっているのは、非常に狭い意味での掛け算の概念のことのような気がしたのですが…。


算術における掛け算の概念を小学校教育にそのまま持ち込んでも、矛盾がでてくるような気がします。

私は数学は特に勉強しておりません。勝手なことを書き込みすみません。間違っているところがあれば、また教えて下さい。宜しくお願いします。

> 疑問?

> これは、日本だけのローカルルールですか。それとも、日本以外の多くの国では間違ったことを教えているのですか。
>

確かに日本と欧米の掛け算の順番は逆です。アメリカに住んでいたのわかります。
よううく考えてみると、これは言語の違いによるものではないかと私は分析しました。
日本語で一文にまとめると
りんごが四個ずつのせられたお皿が三皿あります。
になります。これに対して、英語では
Here are three plates that contains four apples.
となります。（英語が違っていたらごめんなさい）
普通に考えると、出てきた順に掛け算をしますよね。
日本ではこれになんだかんだと理由をつけて教えるから、掛けるとか掛けられるとか難しい言葉を使うのです。そんな難しい言葉をつかったら子供はわかりません。
つまり、掛け算の順番なんてどうでもいい！というぐらいの気持ちで臨んだほうがいいと思います。しかし、単位にも掛け算があることは理解しておかないといけません。これは後ほど解説します。

>
> 疑問?

これは３×５です。なぜなら単位を考えるとわかります。
日本では答えに残る単位をもつ数を最初に書くと覚えておくとわかりやすいです。
３（人／周）×５（周）ですから
単位も計算すると、最初の分母の周と次の周が分母と分子の関係になって消されますので、残る単位は人です。
りんごの問題も
４（個／皿）×３（皿）
ということになりますね。

>
> 疑問?
>
単位を計算するという考え方をマスターすればこれは簡単。
１ｃｍ×１ｃｍです。1×1は1です。
ではｃｍ×ｃｍはどうなるでしょう？そう、ｃ? になるのです。
だから立方体の単位はｃｍの３乗になるのです。

>
> 長文失礼いたしました。どうぞ、宜しくお願いいたします。
>
>
>
このように単位の計算という概念をお子さんにしっかり理解させると、これから、速さの問題の時にもすっごく役立ちます。

しっかり理解して下さい　様

お返事ありがとうございます。

ただ、少しスレの主旨から離れてしまったように感じます。
なにが悪かったのかと、最初のスレを改めて読み直しました。
長文のうえ、《リトルスクールの良さは》のスレからの続き、しかもHN教えてくださいで、疑問?〜?。
これでは、スレの主旨をご理解いただけなくて当然でした。

すみませんでした。

もう一度スレの主旨を説明いたします。


例題：お皿が３皿あり、それぞれにりんごが４個のせてあります。りんごは全部で何個ですか。


日本の多くの小学校の先生、塾、通信教育などでは
４×３＝１２　　　○
３×４＝１２　　　×（いかなる場合でも一律に×）

私（スレ主）の考え方は、
４×３＝１２　　　○
３×４＝１２　　　○（考えかたが正しければ、掛け算の順番にこだわる必要はない）

この件で《リトルスクールの良さは》のスレにおいて、私（スレ主）の考えかたは、数学的に間違っているというご意見がありました。
そして、その理由は以下の通りでした。
《掛け算は、前にある方が掛けられる数で、後ろにあるのが掛ける数です。ですから、単位としては掛けられる数のものをイコールの後に利用しなくてはなりません》

このスレの主旨は、この《掛け算は、…》が数学的に正しいのであれば、このスレにある疑問?〜?は、数学的にどのように説明されるのか、教えて下さいということです。

私の表現力の拙さのため、ご迷惑をおかけしました。

小学生の算数の問題を契機として、乗法の順序の意味について、数学でどのように
定義されているかをお尋ねなんですよね。

答え：「数学では、何の意味も定義もしていません。」です。

数学は、数（自然数や実数、複素数など）の定義や、演算（加減乗除など）
の定義にあたり、「実生活での意味」といったものを捨て去り、抽象化して
しまったのです。
時期的には、19世紀末から20世紀初頭の数学界の出来事です。
分野でいうと、「集合論」が該当します。それまでの直感的集合論（古典集合論）
が抱える矛盾（パラドックス）を解決するため、公理的集合論（通常ＺＦ集合論と呼
ばれます）が構築された際、実生活での「意味」と決別しています。

数学者が扱う、数や演算は、「空集合」をタネにして、定められた手続きで構成
されたものだけです。この構成を、集合論で行います。
自然数や実数など、（数学で）必要なものは、この方法で構成します。
しかし、「リンゴの個数」や「何皿」なんていう概念は、数学には必要ないため、構成していません。
例えば、{そのお皿に乗っているリンゴの集合｝は、ＺＦ集合論では集合ではありません。

もちろん、数学の世界に、「３」や「４」はあり、「３＋４＝７」は証明可能です。
しかし、
「右のお皿にリンゴが3個、左のお皿にはリンゴが4個あります。全部で幾つ？」
という問いに、数学は回答を与えないのです。
このときに、「自然数の３」と「自然数の４」と「自然数の加法」を用いれば答えがだせる
のは、「工学（経験工学）」＝「法則」の分野だと考えます。
*)法則：経験的に正しいことは分かっているが、証明するようなものではないもの。

乗法の順序に（数学屋から見れば妙な）「意味」を与えるのは、数学ではなく、
「教育」や「工学」の世界のことだとご理解ください。

−−−−
３皿×４個/皿＝１２個という立式が、正当かどうかは、「教育」分野で、判定してください。
「数学」にそのような「意味」を持ち込まれては困ります（笑）。