渋幕中の算数で円周角？｜掲示板スレッド

投稿を読み返して色々なことを考えられる面白い問題だと思いました。ひと段落したところだと思いますが気になることがあったので投稿させていただきます。
この問題は図形が円に囲まれていることが大切なのだと思います。なぜなら子どもには対称性・等脚台形、大人には各種定理が見えやすくなるからです。ちなみに図形から円を消し去って考えてみるととても難しかったです。

そして気になったことというのは、円周上の点について辺の条件を満たすように5つの点を取ることはできるのかということです。言い換えると辺の長さを設定することで作れた五角形ABCDEは円に内接するのでしょうか。それこそ中学、高校数学でなら簡単に説明がつくと思いますが算数ではどうでしょうか。

三角形ACEは1辺の長さが7cmの正三角形です。
三角形ACEの外側にAB＝CD＝EF＝5cm、BC＝DE＝FA＝3cmとなるように
点B,D,Fを取るとき以下の設問に答えよ。

１）三角形BDFが正三角形であることを示せ
２）六角形ABCDEFは同一円周上にあることを示せ

難しいね。
１）は、三角形ＡＢＣ≡三角形ＣＤＥ≡三角形ＣＤＥはすぐ示せるから、
　　それを使って三角形ＢＣＤ≡三角形ＤＥＦ≡三角形ＦＡＢを示すのでしょう。
２）は、２つの正三角形の１辺の長さが同じことを示せば良いので、
　三角形ＡＢＣ≡三角形ＢＣＤを示したいが、なかなか難しくて「証明」の
　形にしにくい。ＡＣ＝ＢＤと置けば、すべて辻褄が合うので、
　一義的に描かれる図の「説明」は簡単。誰か、スッキリした「証明」を頼みます。

三角形ACEは1辺の長さが7cmの正三角形です。
三角形ACEの外側にAB＝CD＝EF＝5cm、BC＝DE＝FA＝3cmとなるように
点B,D,Fを取るとき以下の設問に答えよ。

１）三角形BDFが正三角形であることを示せ
２）ＡＣ＝ＢＤを示せ
３）ABCDEFは同一円周上にあることを示せ

１）ＡＢ＝ＣＤ＝ＥＦ＝５ｃｍ、ＢＣ＝ＤＥ＝ＦＡ＝３ｃｍ、
　　ＡＣ＝ＣＥ＝ＥＡ＝７ｃｍ、３辺の長さが等しいので、
　　三角形ＡＢＣ≡三角形ＣＤＥ≡三角形ＥＦＡ

　　三角形ＡＢＣにおいて∠Ａ＝ａ、∠Ｂ＝ｂ、∠Ｃ＝ｃと置くと
　　∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＋∠ＤＣＥ＝ｃ+６０°+∠ＢＡＣ＝ａ+ｃ+６０°
　　同様に∠ＤＥＦ＝∠ＦＡＢ＝ａ+ｃ+６０°
　　２辺よ挟む角が等しいため
　　三角形ＢＣＤ≡三角形ＤＥＦ≡三角形ＦＡＢ
　　ゆえにＢＤ＝ＤＦ＝ＦＢであり、三角形ＢＤＦは正三角形である。

２）直線ＡＢにＣからおろした垂線の足をＨとし、ＢＨ＝ｘと置く
　　三平方の定理により
　　三角形ＡＨＣにおいてＡＣ＾２＝（ＡＢ＋ｘ）＾２＋ＣＨ＾２
　　三角形ＢＨＣにおいてＢＣ＾２＝ｘ＾２＋ＣＨ＾２
　　両辺の差を取ると
　　ＡＣ＾２ーＢＣ＾２＝（ＡＢ＋ｘ）＾２ーｘ＾２
　　４９ー９＝２５+１０ｘ
　　ＢＨ＝ｘ＝３／２、ＢＣ＝３、∠ＢＨＣ＝９０°であるから
　　∠ＨＢＣ＝６０°である
　　よって∠ＡＢＣ＝１２０°、ａ＋ｃ＝６０°である
　　∠ＢＣＤ＝ａ＋ｃ＋６０°＝１２０°となることから
　　三角形ＡＢＣ≡三角形ＢＣＤとなるためＡＣ＝ＢＤである。

３）略

三平方を使ってしまいました。初等幾何だけでは難しいですね。

久しぶりに覗いたらレスが進んでいました。

今さらですが…さんの問題、（なつかしの）余弦定理を使えば∠ABC=120°を示せばよいので簡単ですが（と言いつつ忘れていましたが）、算数や初等幾何の範囲でとなるとまったく分かりません。

余弦定理（高校範囲）相当の説明を三平方（中学範囲）でやってみました。

中受のトップレベルの子たちは三平方までは勉強してたと思いますが、
皆さんどうでしょう？

改めて見てみると呑気な父さんさんの証明は正に余弦定理の証明そのものですね。

小学生でも 3^2+4^2=5^2 の直角三角形の例などで三平方の定理を知ってる子は多いと思いますが、さすがにこのレベルで方程式と組み合わせて使いこなせる子は見たことがないです。

辺の長さが７－５－３の三角形で１２０°が作れるというのは
学生時代は知らない豆知識でした。最近は中受生の常識なの？

「三角形　7　5　3」で検索すると出てきますね。

「七五三」三角形から円に内接する四角形へ　　札幌東高等学校
http://izumi-math.jp/K_Satou/nagoya/nagoya.htm

勉強になりました。