渋幕中の算数で円周角？｜掲示板スレッド

●方針
ＡＤとＥＣの交点をＰとすると
四角形ＡＢＣＰは平行四辺形となるためＡＰ＝ＢＣ＝３
三角形ＰＣＤは正三角形であり、ＰＤ＝ＣＤ＝５
よってＡＤ＝ＡＰ＋ＰＤ＝３＋５＝８

●平行四辺形の部分
円周角を使うと
長さ３の弦に対する円周角を③、同様に弦の長さに対して⑤⑦と置く
∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＤ＝③＋⑤、また∠ＢＡＤ＝⑦
∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＋∠ＢＤＣ＝⑤＋③　＝∠ＢＡＤ
同様に
∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＥ＋∠ＥＢＤ＋∠ＤＢＣ＝③＋⑦＋⑤
∠ＢＣＤ＝∠ＢＣＡ＋∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＤ＝⑤＋③＋⑦　＝∠ＡＢＣ
よって四角形ＡＢＣＤは等脚台形でありＡＤ∥ＢＣ
同様に四角形ＥＡＢＣは等脚台形でありＡＢ∥ＥＣ
ＡＤとＥＣの交点をＰとすると
四角形ＡＢＣＰは平行四辺形となるためＡＰ＝ＢＣ＝３

小学生流では
四角形ＡＢＣＤは明らかに左右対称なので等脚台形、よってＡＤ∥ＢＣ
同様に四角形ＥＡＢＣも等脚台形でありＡＢ∥ＥＣ
ＡＤとＥＣの交点をＰとすると
四角形ＡＢＣＰは平行四辺形となるためＡＰ＝ＢＣ＝３

●正三角形の部分
円周角を使うと
∠ＰＣＤ＝∠ＥＣＤ＝⑦＝６０度
∠ＰＤＣ＝∠ＡＤＢ＋∠ＤＢＣ＝⑤＋③、⑤＋③＝⑦なので∠ＰＤＣ＝⑦＝６０度
ゆえに三角形ＰＣＤは正三角形であり、ＰＤ＝ＣＤ＝５
よってＡＤ＝ＡＰ＋ＰＤ＝３＋５＝８

小学生流では
三角形ＡＤＢと三角形ＣＥＤは同じ形なので∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＤ
∠ＡＰＥ＝∠ＣＥＤ＋∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＥ＝６０度
よって三角形ＡＰＥは一片３の正三角形である
三角形ＰＥＤと三角形ＣＢＤは同じ形なので∠ＰＤＥ＝∠ＣＤＢ
よって∠ＰＤＣ＝∠ＥＤＢ＝６０度
∠ＡＰＥ＝６０度とあわせて三角形ＰＤＣは正三角形、よってＰＤ＝ＢＣ＝５
ＡＤ＝ＡＰ＋ＰＤ＝３＋５＝８

呑気な父さん さん

ご解答ありがとうございました。
これも正しそうですね。

> 中学数学を使うと簡単で小学校範囲での説明が難しい。
> 昔、子供と問題を解いている時に悪問だなあと嘆いたものです。

そうですよね。この問題は数学としては良い問題なのですが、過去問としてこの問題を解いた受験生は、渋幕を受けるには円周角の定理は使えないといけない、と判断するだろうと思います。
もう一つこの問題で疑問なのが、あてずっぽうでも正解してしまう可能性がかなりあるということです。この問題を出すなら記述させないといけないのではないかと思いました。

＞あてずっぽうでも正解してしまう

算数おもろい (ID:.RScUJvnk7s) さんの回答で
中央に出来る三角形が「円の中心に対して点対称なので」正三角形であること
「∠ＡＦＥ＝６０度（正三角形の角）と対称性から」
三角形ＡＥＦと三角形ＡＤＦは正三角形であることを記述させないと、
きちんと解けた子と、勘で出来た子を区別できません。

やぱり「悪問」です。渋幕大丈夫かなぁ。

まぁ、あんまり良い問題ではないですね。

しかし、良くないという点では理科のほうがもっと酷い。
あんまり、ああいう「ひっかけ」や「１つひっかかると芋づる式にダメ」
みたいな問題は良くないです。

渋幕は勉強よりも「カンの良い子」を集めたいのかな？

＞小学生流では　四角形ＡＢＣＤは明らかに左右対称なので等脚台形、よってＡＤ∥ＢＣ

この問題の肝は

「4点が同一円周上にある四角形ABCDでAB=CDなら、AD∥BC」

が小学生の知識レベルで言えるかどうか。
見た目には四角形ABCDが等脚台形でも、証明できないと、ちゃんとできたことにはなりませんよね。

高校範囲（数Ａ）ですが、円に内接する四角形に関する定理（トレミーの定理）を使うと一瞬です。

ＡＤ×ＥＢ＝ＡＥ×ＢＤ＋ＡＢ×ＥＤ
が成り立つ。
仮定よりＥＢ＝ＢＤ＝ＥＤ＝７ｃｍ
ＡＢ＝５ｃｍ、ＡＥ＝３ｃｍ
なのでＡＤ＝８ｃｍ

あからさまにトレミーの定理を使えばすぐ解ける問題を出すのはよくないと思います。（知っているか否かだけで差がつくから）
塾でもトレミーの定理を教えるようになってしまいます。

トレミーの定理がどんぴしゃなんですね。
最近の高校数学では図形の対立が増えましたね。
私は、自分で証明できない定理は気持ち悪くて
使えないんです。子供の参考書で勉強し直します。

いや一号さん、すばらしいです。
一本とられました。