算数のヨタ話ですみません｜掲示板スレッド

＞最初、「続く生涯の１／１２」を「残りの生涯の１／１２」と読み取り、
そうですね。内容が正しく伝わらない碑銘ですね。
紛れがないように，書き直しておくべきでした。すみませんでした。
・・・・・・・
さきに出題した図形問題は小学生には難しいので，ひとまず別の問題です。
鉛筆でヒトデの星型をかいてください。ポケモンのヒトデマンの形です。
中央の宝石は要りません。あるいは，サッポロ・ビールの星です。
☆ではなく，一筆書きで，中央にも線を続けてかきます。
対称にきれいにかかずに，すこしひしゃげた形にしてください。
この星型の五つの尖端の角度をすべて加えると何度になりますか？
・・・・・・・答：１８０度
普通は，「三角形の二つの内角の和は残りの頂点の外角に等しい」ことを使って答えを出します。
すこしひしゃげた形にしたのですから，おのおのの角度は「たまたま決まった値」です。
おのおのの角度は「たまたま決まった値」にもかかわらず，角度の和は１８０度になるのです。
これは，もとの図形を変形させても，角度の和は「不変な量」であることを示しています。
もとになった，「三角形の三つの内角の和」は１８０度で，そもそも「不変な量」です。
・・・・・・・
図形を連続的に変形させたとき，変形させても変わらない量がある。
ある特定な形状に変形させたときでも，変わらない量は同じだから，
その変わらない量を求めるには，都合がよい形状を考えて，その量を求めればよい。
・・・・・・・
それでは，星型をうんと変形させて，上下方向に縮めてみましょう。
すると，上の尖端の角度はかなり大きくなり，ほかの四つの角度はかなり小さくなります。
さらに，上下方向に押しつぶしてみましょう。
上の尖端の角度は極めて１８０度に近く，ほかの四つの角度は極めてゼロに近くなります。
そして，完全に押しつぶしたとき，上の尖端の角度は１８０度，ほかの四つの角度はゼロになります。
したがって，角度の和は１８０度になることがわかります。
三角形の三つの内角の和も，三角形を押しつぶしてみると，和が１８０度になることがわかります。
しかし，このような解法は許されるのでしょうか？
・・・・・・・
「三角形の二つの内角の和は残りの頂点の外角に等しい」理由をすこし変わった視点で考えましょう。
地面におおきな三角形をかきます。その三角形の真ん中に旗を立てておきます。
その一つの辺の中間点から，地面にかいた三角形の上を歩きます。
一つ目の頂点に着いたら，方向を変えて次の辺の上を歩きます。
さらに次の頂点に着いたら，方向を変えて三つ目の辺の上を歩きます。
三つ目の頂点に着いて方向を変えると，最初の辺の上に戻るので，歩いて最初の点に戻ります。
さて，旗の周りを回った回数は何回でしょう。・・・１回です。
歩いて，もとの点に戻ったとき，歩く方向は何度変わったでしょう。
頂点で方向を変えた角度は，１８０度−その頂点の内角ですから，
三つの頂点での合計は，１８０度×３−三角形の内角の和です。
しかし，この角度は旗の周りを回った回転角度でもあるので，３６０度でもあります。
したがって，１８０度×３−三角形の内角の和＝３６０度
したがって，三角形の内角の和＝１８０度，ということがわかります。
ここで使ったのは，直線上の点から半直線を引いたときにできる二つの角の和は１８０度であることと，
ある点の周りを回ったときには３６０度回転することです。
・・・・・・・
これを星型の図形に適用すると，図形の真ん中の点の周りを２回転しているので，
１８０度×５−五つの尖端の角度の和＝３６０度×２，となり，
五つの尖端の角度の和＝１８０度が得られます。
・・・・・・・
ここまででいえること，
図形を変形させても変わらない量は，ある都合がよい図形で考えてもよい
図形上を動く点を使って，図形のもつ性質を知ることができる。
このどちらも，さきに出題した図形問題を解くためのアプローチとして使えます。

ピタゴラス　様へ
＞図形問題、答えが正三角形というのは、解るのですが・・・。
＞複素数平面・・・きれいに忘れました。
・・・・・
ありがとうございます。
困ったことに，複素数平面は，現在は高校生の学習指導要領から消えてしまいました。
＞幾何学的に証明しようと、平行四辺形を書いて「行ける！」と思ったのですが、
・・・・行けます！
ベクトルは消えず，移動量と方向とをもって，移動する点の動きを表してくれるでしょう。

３つの正三角形の接点と反対側の各辺の中点を結んで三角形を描きます。
その三角形の各辺を１辺とする正三角形を３つ描きます。
すると、問題の三角形の３つの頂点がそれぞれの正三角形の重心となるので、ナポレオンの定理より、正三角形となります。

ナポレオンの定理も初等幾何で証明できるのですが、図なしで説明するのは難しいので省略します。
ナポレオンの定理･･･任意の三角形の各辺を1辺とする正三角形の重心を結んだ三角形は正三角形となる。

小学生にはちょっと無理ですね（笑）


> ・・・
> 次は，図形問題が大好きなお子様に，ぜひ挑戦していただきたい問題です。
> ・・・
> 大きさが互いに異なる三つの正三角形があり，一つの点で三つの正三角形の頂点は接しています。
> しかし，三つの正三角形はどの辺も接してはいませんし，三つの正三角形は重なってもいません。
> 隣り合う正三角形の頂点どうしを直線で結びます。直線は３本引けます。
> こうして引いた３本の直線の真ん中の点を直線で結んでできる三角形はどのような三角形ですか。
>
>

算数大好き様
＞ナポレオンの定理
存じませんでした。インターネットで調べると，高校数学程度とありました。
ナポレオンの定理そのものは図が別ですから，さらに考察が必要ですね。
・・・・・
このスレは「算数のヨタ話」なので，小学生が「なあんだあ」と思うものでありたい。
この図形問題の私のヨタ話解法の一つは，「同志社の校章」の変身です。

すみません。
投稿者名の欄のコピーを間違えてしまいました。
上の投稿は「昔の受験生の親」です。

「同志社の校章」の変身・・・・・想定解答可能学年は小学４年生以上です
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さきに出題した図形問題での，「大きさが互いに異なる」とある最初の断り書きは無視して，
三つの正三角形の大きさを同じにしてしまいます。
さらに，三つの正三角形の間の角度もすべて６０度にして，「同志社の校章」を作ります。
http://www.doshisha.ac.jp/information/outline/image/logo.jpg
同志社の校章は，正三角形を三つ寄せた形で「完全な調和」を意味しているそうです。
「三つの正三角形はどの辺も接してはいません」とある，次ぎの断り書きも無視して，
同志社の校章を変形させて，三つの正三角形をどんどん近づけていきましょう。
右下と左下にある正三角形を上にある正三角形に近づけていきます。
すると，変形させた図形全体はどうなるでしょうか？
・・・・・
変形させた図形全体は，下底の長さが上底の長さの２倍である等脚台形になります。
そして，問題文の「こうして引いた３本の直線の真ん中の点」は，
上底の両端の点二つと，下底の真ん中の点になります。
したがって，これらの点を結んでできる三角形は，
同志社の校章の上の正三角形と同じになります。したがって，・・・・答：正三角形
・・・・・
そもそも，断り書きを無視したこのような解答は許されるものなのでしょうか？
「大きさが互いに異なる」三つの正三角形を拡大，または縮小して，大きさを近づけます。
大きさが極めて同じに近いときと，まったく同じときで，その違いはあるのでしょうか？
問題の種類によっては，まったく同じときには図がかけなくなることがあります。
しかし，この図形の場合は，正三角形の辺の長さが10cm，10cm，10cm，で同じにしたときと，
10cm，10.0001cm，9.9999cm，でわずかに異なるときとでは，普通に図をかいたとしたら，
二つの違いはまったく区別できないでしょう。
10cm，9.9999cm，10.0001cm，でわずかに異なるときも同様です。
「大きさが互いに異なっても，大きさがすべて同じでも，じつは変わらない」のです。
・・・・・
「三つの正三角形はどの辺も接してはいません」とある，次ぎの断り書きも，
「辺がすぐにでも接するほど近づいても，ちょうど接してしまっても，じつは変わらない」のです。
「こうして引いた３本の直線」は，二つは長さがどんどん小さくなって，最後には長さがゼロになりますが，
その線の両端が一致するので，真ん中の点もその一致した点になります。
残りの一つは長さが正三角形の辺の長さの２倍に近づき，
ついには，真ん中の点が等脚台形の下底の真ん中になります。
(この問題の場合は)与えられた問題文の断り書きを守らなくても答えは同じなのです。
それでは，三つ目の断り書きである「三つの正三角形は重なってもいません」はどうかといえば，
じつは，「重なっていてもいっこうにかまわない」のです。
例外は，三つの正三角形が同じ角度の方向で辺がすべて重なる場合で，三角形ができません。
・・・・・
それでは，「断り書きの意味はいったい何」なのでしょうか？
それは，「大きさが互いに異なる」は「大きさが互いに異なっても，あるいは同じであってもよいが，
同じときだけに成り立つ性質ではなく，もっと一般的に成り立つ性質です」を言い換えたものでしょう。
「一般的に言える性質」であることが保証されているならば，
「ある特殊な場合」にその性質が成り立つことを示すことができれば，
その性質は一般的に成り立つと言えるのではないか？
この図形の問題では，元になる三つの正三角形の大きさと配置が任意であっても成り立つ，
として出題されています。ですから，上に書いたことが暗に保証されていると考えられます。
数学が専門の方は，そりゃあ違うよとおっしゃるかもしれませんが，「算数のヨタ話」ですので，ご勘弁を。
・・・・・
二つ目の解法は，・・・離れて立つ二人。
二人は，真ん中にハートの星をつけたゴム製の糸をたがいに握り締めて，おのおのの道を歩んでゆく。
ハートの星は二人の真ん中で，その場所を示して光輝く。二人が向かう道は二つある。
・・・・ハートの輝石は，どこにたどり着くのであろうか？

興味あって読んでます。よろしかったら解方お願い致します。

ある数の約数が２，３，５，６，８，９，１０，１１であることは、すぐに判断できます。
ある数の約数が１３，１７，１９，２３，２９、であることを最短で見つける方法が
ありますか？よろしかったら、ご指導下さい。

＞ある数の約数が１３，１７，１９，２３，２９、であることを最短で見つける方法がありますか？
判定方法は剰余系で考えられるようですが，剰余系は難関大学の入試問題としてしか出題されませんから，
高校生でも覚えてはいないでしょう。ただし，その場で考えれば解ける受験生はいるでしょう。
中学入試なら，１３，１７，１９，２３，２９，で実際に割ってみるほうが早いと思います。
・・・・・
例えば，１０００＝７×１１×１３−１ですから，１３の倍数−１
１００００００＝(７×１１×１３−１)^2＝１３の倍数＋１
１０００００００００＝(７×１１×１３−１)^3＝１３の倍数−１
以下同様に，１０００の奇数乗は１３の倍数−１，１０００の偶数乗は１３の倍数＋１，です。
したがって，数字がＦＥＤＣＢＡと並んでいる数を例にすれば，
数値＝ＦＥＤ×１０００＋ＣＢＡですから，数値÷１３の余り＝(ＣＢＡ−ＦＥＤ)÷１３の余り
したがって，３桁ずつに区切った数字を足し引きしてできた数字が１３で割り切れれば１３の倍数です。
例：９７０６５４３２１
９７０−６５４＋３２１＝６３７，６３７÷１３＝４９余りナシ・・・９７０６５４３２１は１３の倍数
・・・・・
９桁の数，例えば；９８３６５４３２１の約数としての１３を求めさせる問題として，
９８３６５４３２１÷１３＝７５６６５７１７，余りナシ，と９桁割る２桁の割り算を計算するのと，
９８３＋３２１−６５４＝６５０，６５０÷１３＝５０，余りナシ，と計算するのは，けっこうな差ですが，
６桁の数，例えば６５９３２１の約数としての１３を求めさせる問題として，
６５９３２１÷１３＝５０７１７，余りナシ，と計算するのと，
６５９−３２１＝３３８，３３８÷１３＝２６，余りナシ，と計算するのとでは，あまり差がないでしょう。
したがって，中学入試問題の出題範囲なら，倍数であるかどうかは実際に割ってみるほうが早いでしょう。
中学入試なら，７か１３の倍数かどうかを判定するしくみの問題としてしか出題されないでしょう。
そのほかの数では，判定の手順がもっと複雑になるからです。
問題例：「ある数字」が７(１３)の倍数かどうかを判定するには，数字を一の桁のほうから３桁毎に区切り，
３桁の数字を足す，引く，足す，引くと交互に加減算した結果を７(１３)で割ったときに割り切れれば，
その「ある数字」は７(１３)の倍数であることを説明しなさい。
・・・・・出題の可能性としては，難関中学入試でもかなり低いと思います。
１１の倍数かどうかを判定する方法は，中学入試問題として出題されるかもしれません。
これで，よろしいでしょうか。