教えて｜掲示板スレッド

例題をあげて下さい。
どの程度の連立方程式なのでしょうか？

　ここは中高一貫のスレということなので、
たぶん中学校で初めに習う連立一次方程式の事だと思います。
文章は拙いですし、そこまで詳細に、厳密には説明できない事はご了承下さい。


　　この連立方程式を解け。
　　x+y=4　（・・①式とする）
　　x-y=2　（・・②式とする）


　こんなの簡単だよ。　と思ったかもしれないですが中学校の連立方程式は、
この解を求める事とやることはなんら変わりはないです。
少し見た目が変わったり、文章題になったりするだけともいえます。


　　1本1円の鉛筆をx本、1本1円のシャーペンをy本買いました。
　　買った額の差は鉛筆の方が2円高く、合わせて4本買いました。
　　（x,y）の組を求めよ。


　と一緒だという事です。

　本題に入ります。①、②のように二つの方程式があり、
それぞれの解（x,y）の組を求める事が第一目標となります。
その後、二つの解の共通解を求める事ができればこの連立方程式を“解く”ことが出来ます。
これが今のところの最終目標です。


　実際にやってみます。
①式で例えば、xに１を入れてみると、　1+y=4 　となります。
これを満たすyは　y(=4-1)=3 と分かると思います。
ではこのxにnという文字を入れてみると、　n+y=4 となります。
先ほどと同じようにすれば、これを満たすyは　y=4-n となります。
つまり①式を満たす解（x,y）は（n,4-n)という事になります。


　突然出てきたようなこの　n という文字ですが、
この　n　には基本的に何を入れても成り立ちます。（中学校数学では）
いろいろ入れて確かめてみてください。ex) n=5,n+1,x　等


　①式と同様に、②式にもxにnを入れてみると、n-y=2 となります。
今までと同じようにして、　y=n-2 がこれを満たします。
つまり②式を満たす解（x,y）は（n,n-2）という事になります。


　今、①と②の共通解（①と②をどちらも満たす解）を求めたいわけです。
共通解ということはx,yが同じ値でないといけません。
ただすでに求めた①・・（n,4-n） ②・・（n,n-2）のxの値はnで一緒なので
とりあえず無視します。
　

　だからyの値を一緒にするようなnの値を探すことにしてみる。
値が一緒だから、　4-n=n-2 　が成り立つはずである。
式変形すると、　2n=6 となります。
つまり、n=3のとき①と②は共通解（x,y）=（3,1）を持つとわかります。


　ただ、なんかめんどくさいなと感じたかもしれません。
だからnに今度はxを入れます。
すると、①・・（x,4-x） 　②・・（x,x-2）ですね。
　この（x,y）のyの方に注目します。
　　①の式　x+y=4 ⇔　y=4-x　　（⇔・・・同値という意味の論理記号。
　　②の式　x-y=2 ⇔ y=x-2　　　　　　　同値はとりあえず同じと読み替えてください）
　と式変形できます。つまり、nなどと置かなくても、式変形をするだけで、
それぞれの式を満たす解を見つける事が出来ます。
そして、先程と同様にしても共通解を見つける事ができますが、
　
　　x+y=4・・①
　　x-y=2・・②
　　①+②　2x=6 ⇔　x=3
　　②-①　2y=2 ⇔　y=1


　と求める事も出来ます。これを天下り式に教わるわけです。
しかし、原理は初めにやったことと一緒です。
だから、早く“解く”ためにはこの文字消去が手っ取りばやいのです。


　長くなりました。
また、書かしていただきます。

文字について・・
　数学でよく、わからないもの（値）をa,b,c,r,x,y,zなどと文字で置きます。
このよくわからないものを未知数といいます。
つまり、式にx,yという二つの文字が使われているときは


未知数二つ


という表現を使います。この未知数に一定の関係を与えてくれるのが
条件の式だということです。


さて、実は未知数n個の解を求めるためには条件の式をn個立てる必要があります。
逆に言えば、条件の式をn個だけ立ててしまえば、全ての解を必ず求める事が出来ます。
このことを強く強く意識して、式を立てることを強く勧めます。

しかし、ここでひとつ疑問があると思います。
　x+y=4 かつ　x+y=2　・・①　や　x+y=4 かつ　2x+2y=8 ・・②
といった連立方程式は２つ式があるのに解けないんじゃないかと。


これにはもちろん理由があります。
〔①のとき〕
この状態を“解なし”といいます。なぜなら共通解がないからです。
これを文字消去でやろうとすると０＝６（？）となってしまいますが、
“共通解を求めよう”という気持ちでやれば、共通解は“なし”と求められます。


〔②のとき〕
これは、２つの式が同値な状態になっています。
つまり、２つに見えて１つなんです。
この同値な状態を意識する事はいつになっても重要です。


今までのことを意識して教科書や問題集にある連立方程式の問題を解いてみてください。
ただ、文章題では文字の置き方や、式の立て方は“馴れ”という要素も大きいので最低限の演習は不可欠です。
繰り返しやってなれていってください。連立方程式の理解は関数の理解にも直結しますので力点をおいてやってみてください。

なにかあればまた質問してください。
他の方もアドバイスやここが変だとか、いろいろありましたら教えてください。