５年アルファの広場 【2018年度】｜掲示板スレッド

高さを微小に分けた円柱の体積の和と説明した方がよろしいかと。

以下、積分を使わず
錐体の体積の公式導出を小学生でも感覚的に理解できる方法です。
納得感重視で厳密な証明は飛ばします。

立方体を、その重心を頂点とし、各面を底面とする6つの四角錐に分割します。
この四角錐1つの体積 V は、
V = 1/6 ＊a＊a＊a
= 1/3 ＊S＊h
ここで、Sは立方体の一面(四角錐の底面)の面積、hは底面から頂点までの高さです。
よって、四角錐の体積Vは
V = 1/3 ＊S＊h
となります。
円錐の底面を面積sの微小な正方形に分割して、その正方形を底面とする四角錐の体積の和が、円柱の体積Vだと考えれば、
V = Σ(1/3 ＊ s ＊ h)
= 1/3 ＊ Σs ＊ h
= 1/3 ＊ S ＊ h

プロポーションの問題を飛ばしていますが、簡単に説明できます。
お分りいただけましたでしょうか？

皆さん、騙されてはいけません。サピックスの本当のトップの子供は、いくつもの塾をかけもちしています。朝から晩まで勉強しています。テレビも観ませんし、ゲームもしません。信じられないタスクを、笑いながらこなしていきます。半端ない体力です。また、社会性も高い子供が多いんですよね。大規模校舎に数人、中規模校舎に1人いるかどうかレベルですが・・・、どうにか食い込みたいところです。まあ、そんな子供でも現時点で積分の概念は理解できないでしょうが、理系は、相手に伝えようとする気がないから困りものですね。おっと、話がそれましたが、私が言いたい事は、本気で、これからやれば追いつくと思っていたら失敗しますよ。みんなやるんですから、トップはとんでもなくやるんですよ。ますます差がつきます。騙されないようにねー。がんばってねー。

理系母さんみたいな説明、頭の良い人にはいいんでしょうが、凡人には積分の方が簡単です。
ユークリッド幾何学より座標幾何の方が簡単。
数学は、数式を駆使することで、図形センスがない人でも機械的に解けるようにする学問だと思います。

サイコロを６つに分割するって話ですね、これはわかりやすい！でも、円錐を微小な四角錐に変えちゃうのは、やっぱ積分ですねえ。

四角錐の体積の説明はスマートでいいですね。
これ、プロポーション(高さ)が変わったときの説明はどうするのでしょう？

それと、真っ直ぐ立った四角錐と斜め四角錐との体積の関係の説明も知りたいです。直感に訴えれば納得させられる子は多いかもしれませんが。

斜め四角錐の和で近似は、きちんと説明しないと納得できない子は多いと思います。
そして、その説明は中学受験の範囲でできそう(無限小の話はおいて、近似だけ)ですが、中学受験の問題としてみたらかなり高度で多くの子には難解なのではないかと思います。

うまい説明があるなら知りたいです。


あ、イプシロンデルタも小学生には難解だろうことはもちろん分かってます。
(四角錐の和が円錐の体積に収束する説明は、結局イプシロンデルタになりそう)

たしかに前のレスで下の説明は省きました。

・斜め四角錐
四角錐を底面に平行な平面で同じ厚さで輪切りにしていきます。頂点から同じ距離の平面で切れば、断面積は斜め四角錐であっても普通の四角錐と同じです。
斜め四角錐を輪切りにすると、薄い四角錐台がたくさんできます。この一つ一つの四角錐台は四角柱に体積が近似でき、高さと底面積が同じことから斜め四角錐と普通の四角錐で同じ体積です。
よって底面積と高さが同じ錐体は、斜めであっても、体積が同じです。

・異なるプロポーション
上と同じように四角錐を輪切りにすることにします。
ある四角錐を2倍の高さにしたとき、元の四角錐と「同じ個数だけ」輪切りにすれば、薄い四角錐台はみな2倍の高さになります。
よって底辺が同じ四角錐の高さを2倍にすれば体積は2倍になります。

ご説明ありがとうございます。
そこはやっぱり積分なんですね。