東大生正解率８％の問題

あの、某私大理学部さんのレス読まれました？。特定の家だろうが、不特定だろうが、無数の家庭を想定して考えないと、確率って話にならないって。ある特定のサイコロを一回だけ振った時の出目の確率って問題でも、無数回振る想定でやらないと答えの出しようがないって。（あえていえば、1かゼロ、出たとこ勝負？）。そもそも男女1/2を使うところで、無数の男女を考えてるんじゃないですか？私は、某私大理学部さんの説明で納得しましたけど。

変な展開になってますね。休むと書きましたが出てきました。
本来、京大理学部さんが出てきて「勘違いしてました」とか書けばいいのでしょうけれど、
某私大理学部さんや法学部さんたちが説明を頑張っておられるので、私も書いてみます。
　

例題１
①部屋に齋藤さんの子供が２人いる。
②少なくとも１人は女の子である。
③このとき、両方とも女の子である確率は？

解答１
①の時点で、年上/年下　の順に書くと以下の４通りが考えられ、それらの確率は等しい。すなわち確率は１／４ずつである。
　（女女、女男、男女、男男）
　たとえば、対象が１２０００組あったら、各々３０００組の存在が期待される。
②の条件は、「男男ではない」と言い換えられる。
　なぜなら、「少なくとも１人は女の子である」ならば「男男ではない」し、
　　　　　　「男男ではない」ならば「少なくとも１人は女の子である」から、これらは同じ命題である。
　①②を満たすのは３通りであり、それらの確率は等しい。
　なぜなら、「男男ではない」という条件は、残る（女女、女男、男女）の相互間で確率が増減する理由にならないからである。
　たとえば、対象が９０００組あったら、各々３０００組の存在が期待される。それらの確率は１／３ずつになる。
③の条件によって、１通り（女女）のみが残る。
　よって、②の条件のもとでの③の確率＝（女女）の１通り／（女女、女男、男女）の３通り＝１／３となる。

①⇒②⇒③と成立していく確率を順に追っていくと
　①の条件のもとでの②の確率（３／４）×②の条件のもとでの③の確率（１／３）＝①の条件のもとでの③の確率（１／４）
　となっており、答え（１／３）が正しいことが確認できる。


例題２
①部屋に齋藤さんの子供が２人いる。
②年上の方は出てきてくださいと言ったら、女の子が出てきた。
③このとき、両方とも女の子である確率は？

解答２
①の時点で、年上/年下　の順に書くと以下の４通りが考えられ、それらの確率は等しい。すなわち確率は１／４ずつである。
　（女女、女男、男女、男男）
　たとえば、対象が１２０００組あったら、各々３０００組の存在が期待される。
②の条件で、（女女、女男）の２通りが残る。それらの確率は等しい。
　なぜなら、（女女、女男）の相互間で確率が増減する理由が無いからである。
　たとえば、対象が６０００組あったら、各々３０００組の存在が期待される。
　それらの確率は１／２ずつになる。
③の条件によって、１通り（女女）のみが残る。
　よって、②の条件のもとでの③の確率＝（女女）の１通り／（女女、女男）の２通り＝１／２となる。

①⇒②⇒③と成立していく確率を順に追っていくと
　①の条件のもとでの②の確率（２／４）×②の条件のもとでの③の確率（１／２）＝①の条件のもとでの③の確率（１／４）
　となっており、答え（１／２）が正しいことが確認できる。

　　
例題１と例題２の違いは何であろうか？
それは、女の子の存在をどのように知ったかである。
例題２では、上の子を選んだら偶然に女の子であった。（これは、「じゃんけんで勝った方」としても同じである。）
よって、独立事象である下の子の性別の確率には変化はない。
しかし、例題１では、人によって女の子の存在を知らされた。
この場合、４通りから１通りだけ消す情報によって、残る３通りの確率が等しく上昇した。
例題２と比較して、与えられた情報が歪であることに気付いてほしい。


では、次の例題はどうなるだろうか？

例題３
①部屋に齋藤さんの子供が２人いる。
②齋藤さんが「娘を一人紹介する」と言って、部屋から女の子を１人連れて出てきた。
③このとき、両方とも女の子である確率は？

これは例題１と同じ意味になりそうだ。
すなわち、法学部さんの書かれた通り、女の子の存在を「偶然に知った」のと「人に知らされた」のでは、
確率計算の仕方が変わってしまうのである。


それでは、次の例題はどうか？

例題４
①部屋に齋藤さんの子供が２人いる。
②少なくとも１人は女の子である。
③２人でじゃんけんして勝った方は出て来るようにと言ったら、女の子が出てきた。
④このとき、両方とも女の子である確率は？

解答４
①の時点で、年上/年下　の順に書くと以下の４通りが考えられ、それらの確率は等しい。すなわち確率は１／４ずつである。
　（女女、女男、男女、男男）
②も満たすのは３通りであり、それらの確率は等しい。それらの確率は１／３ずつになる。
　（女女、女男、男女）
③の条件によって、女が勝つ組み合わせは、勝ちをＷ、負けをＬで表すと以下の４通りである。（女女を２回数えるので注意）
　（女Ｗ－Ｌ女、女Ｌ－Ｗ女、女Ｗ－Ｌ男、男Ｌ－Ｗ女）
　一方、男が勝つ組み合わせは、２通りである。
　（女Ｌ－Ｗ男、男Ｗ－Ｌ女）
　よって、女の子が勝つ確率は、４／（４＋２）＝２／３
④では、偶然残った１人が女である確率は１／２である。
　なぜなら、例題４の③後と例題２の②後の状態は同じだからである。

①⇒②⇒③⇒④と成立していく確率を順に追っていくと
　①の条件のもとでの②の確率（３／４）×②の条件のもとでの③の確率（２／３）＝①の条件のもとでの③の確率（２／４）
　①の条件のもとでの③の確率（２／４）×③の条件のもとでの④の確率（１／２）＝①の条件のもとでの④の確率（１／４）となっており、
　答え（１／２）が正しいことが確認できる。


例題５
①部屋に齋藤さんの子供が２人いる。
②２人でじゃんけんして勝った方は出て来るようにと言ったら、女の子が出てきた。
③少なくとも１人は女の子であった。
④このとき、両方とも女の子である確率は？

②③の順番を入れ替えたが、答えは例題４と同じである。

解答５
①の時点で、勝った方/負けた方　の順に書くと以下の４通りが考えられ、それらの確率は等しい。すなわち確率は１／４ずつである。
　（女女、女男、男女、男男）
②の条件で、（女女、女男）の２通りが残る。それらの確率は等しい。それらの確率は１／２ずつになる。
③の条件は、②が成り立てばすべて成り立つので意味が無い。
④の条件によって、１通り（女女）のみが残る。
　よって、②の条件のもとでの④の確率＝（女女）の１通り／（女女、女男）の２通り＝１／２となる。

①⇒②⇒④と成立していく確率を順に追っていくと
　①の条件のもとでの②の確率（２／４）×②の条件のもとでの④の確率（１／２）＝①の条件のもとでの④の確率（１／４）
　となっており、答え（１／２）が正しいことが確認できる。

以上です。

頑張って読んでくれそうなのは、法学部さんと・・・誰かな？

解答５（訂正）
①②にて、勝った方/負けた方　の順に書くと以下のすべての場合の数は４通りが考えられ、それらの確率は等しい。すなわち確率は１／４ずつである。
　（女女、女男、男女、男男）
②の結果により、（女女、女男）の２通りが残る。それらの確率は等しい。それらの確率は１／２ずつになる。

以下同じ

問題に曜日が入ったわけは、一つは計算を複雑にするためでしょう。
もう一つ、英語の持つ不定冠詞ａを含む句に修飾語をつけて特定する意図があったのでしょうか？

You meet a man on the street and he says, “I have two children and one is a son born on a Tuesday.”
What is the probability that the other child is also a son?

“I have two children and one is a son.”　だと、もう一人もsonじゃおかしい、
“I have two children and one is a son born on a Tuesday.”だと、もう一人もson born on a Tuesdayでもいい、
というニュアンスなのかな？

英語に強い人教えて。

日本語版は、「いるか」「いる」で人数を特定しないように上手く作ってます。

受験問題ならば必ず正解があります。それを目指して、合格点を弾き出すため、不断の努力を重ねる人々が存在します。それをせせら笑うような態度には賛成できません。

賛成しなくても自由。せせら笑っても自由である。

w

斎藤さん宅には２人の子供がいるそうです。２人とも女の子の確率は？


男女の組み合わせの可能性は

　　　　　　　第１子　　　第２子
可能性１　　　女　　　　　女
可能性２　　　女　　　　　男
可能性３　　　男　　　　　女
可能性４　　　男　　　　　男

これら４つの可能性は同様に確からしいので、この時点で２人とも女の子の確率は　１／４　です。


【観察１】　斎藤さん宅を訪れたら物干しにセーラー服が干してあるのがみえた。

これは斎藤さん自身から「うちには女の子がいる」と聞いたのと同じことですが、この場合は可能性４だけが消えます。のこりの３つの可能性１、２、３は同様に確からしいので、この観察 によって２人とも女の子の確率は　１／３　になります。

【観察２】　呼び鈴をおすと女の子がでてきた。

この場合も消える可能性は４だけです。のこりの３つの可能性１、２、３は同様に確からしいので、この観察のあともやはり、２人とも女の子の確率は　１／３　のままです。


【観察３】　でてきた女の子に姉か妹かをたずねたところ、姉であるとの返事だった。

この時点で、可能性４にくわえて可能性３も消えます。のこりの２つの可能性１と２は同様に確からしいので、この観察によって２人とも女の子の確率は　１／２　になります。


ということで、

＞問題４．斎藤さんの家に伺った際、女の子がいました。
＞その子は斎藤さんの娘さんで日曜生まれだそうです。
＞ 斎藤さんにはもう一人お子さんがいるとのことです。
＞さて、斎藤さんのもう一人のお子さんも女の子である確率は?

は【観察２】とおなじ状態ですから、こたえは　１３／２７ に一票。

И

イワンのばか様

＞セーラー服が干してあるのがみえた。

なるほど、偶然に１／４だけ可能性が消えることがあるわけですね。


改めて書いてませんが
既に書いたように本スレの問題の答えは１３／２７とすべきと思います。