東大生正解率８％の問題

ポパイかもよ。

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東大工３人目さん

＞既に書いたように本スレの問題の答えは１３／２７とすべきと思います。

わたしもそう思いますし、

＞問題４．斎藤さんの家に伺った際、女の子がいました。
＞その子は斎藤さんの娘さんで日曜生まれだそうです。
＞ 斎藤さんにはもう一人お子さんがいるとのことです。
＞さて、斎藤さんのもう一人のお子さんも女の子である確率は?

もまったくおなじ問題であり、こたえは　１３／２７　だと思います。

ただ、これらの一連の問題を解くのに、情報を「偶然に知った」か「人に知らされた」かは無関係で、得られた情報がどの場合を排除するかだけを考慮すればよいと思いましたので、さきの投稿になりました。

И

このスレッド、私には結構勉強になりました。新鮮でした。
　
イワンのばかさんの
＞情報を「偶然に知った」か「人に知らされた」かは無関係で、得られた情報がどの場合を排除するかだけを考慮すればよい

に付け加えるとすれば、
排除された事象が持っていた確率が、他の事象にどのように割り当てられるかを考慮すればよい
ということでしょう。


例題α
①ある粒子は物理量ＸとＹを持ち、それらは＋か－である。
　すなわち、ＸＹ＝＋＋，＋－，－＋，－－の４通りを取りうる。
②粒子の物理量は極めて短い単位時間後にＸかＹの片方だけ変化する。
　すなわち、ＸＹ＝＋＋であったなら、次の瞬間にはＸＹ＝＋－または－＋になり、それらの確率は等しい。
③ある条件を加えて、ＸＹ＝－－という状態を取りえなくなったとき、ＸＹ＝＋＋となる確率は？

このような問題では、
①で取りうる　　ＸＹ＝＋＋，＋－，－＋，－－の４通りの確率は等しく１／４ずつです。
③の条件により　ＸＹ＝＋＋，＋－，－＋　　　の３通りとなるとき、
　　　　　　　　　　　－－が持っていた確率１／４は＋＋にのみ上乗せされ、
　　　　　　　　　　　＋＋１／２　＋－１／４　－＋１／４　の確率となります。
　　　　　（イワンのばかさんなら解ると思いますので解説は省略します）

東大工３人目さん

昨日わたしはつぎのように書いたのですが、

＞【観察２】　呼び鈴をおすと女の子がでてきた。
＞
＞この場合も消える可能性は４だけです。のこりの３つの可能性１、２、３は同様に確からしいので、この観察のあともやはり、２人とも女の子の確率は　１／３　のままです。

これは東大工３人目さんの例題４とおなじ状況ですから、解答４を拝見すると、こたえは　１／３　ではなく　１／２　になりますね。失礼しました。

でてきたのが女の子だった（男の子でなかった）ことから、（男、男）の可能性が排除できるだけでなく、それ以上の情報が得られるということでしょうか。

И

前回で最後と申し上げましたが、新たに気付いたことがあるため、改めて投稿します。少し長くなるかもしれませんがご容赦ください。

前回私が消化不良と申し上げた「一人の性別が偶然にわかった場合」、及び「重み」について、その後も書物・ネットで（日本語・英語）調べながら考えていました。京大理学部さんのご説明になにか引っかかるところがあったことも考え続けた理由です。

その結果、私なりに理解できたように思います。


問題への解答としては

A)、東工大工さんが出された、２人兄弟で
「少なくとも一人は女の子がいる（Ｃ）」と言う条件下で
「もう一人も女の子である（Ｄ）」の確率は？？

は、Cの判明の仕方によって1/2か、1/3いずれにもなりうる。

B)スレタイ問題については13/27

が正しいと思います（前回どおりで恐縮です。）

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A)について。

Cの分かった経緯が、

ア）たとえば、家の前を通りかかったら偶然一人女の子が見えたということであったとします。この場合、ありうる事象は女―女、男―女、女―男（以下の議論を明確にするため、姉―妹、兄―妹、姉―弟と言い換えます。同義だと思います。女1、女2でも構いません。）とも考えられますが、私はここで落とし穴にはまったように思います。

そうではなく、まずは直截に、見えた一人の女の子について検討することにします。すると、見えた女の子は①姉―妹の姉である事象、②姉―妹の妹である事象、③兄―妹の妹である事象、④姉―弟の姉である事象、の４つが同じ確率で生じることになります。これを組み合わせの問題に言い換えると、姉―妹である確率が、異性の組み合わせの2倍あることになります。ここがポイントだと思います。あとは、①～④のうち、もう一人も女であるのは①②のいずれかなので、答えは2/4＝1/2。

一方、
イ）たとえば、少なくとも一人女の子がいるかという質問をして「はい」という答えを得ることでCが判明した場合、その「はい」の対象となった女の子は①'姉―妹のいずれかである事象、②’兄―妹の妹で事象、③’姉―弟の姉である事象、の３つの事象同じ確率で生じることになります。ここがポイントだと思います。ア）を検討した後だと①'の場合倍の確率で「はい」が返ってくるように思えますが、よく考えると錯覚だとわかると思います。その後は、①’～３’のうちもう一人も女なのは①’。従って1/3。

質問は、単に女の子がいるかでもいいし、その他、具体的に考え付きませんが、同性同士と異性の組み合わせで答えが同じ確率で返ってくるような質問であればよいことになります。

また、ア）のようなケースは、偶然見えた場合に当てはまるのは確かですが、偶然であるかどうかが分かれ目かどうかは検討できていません（済みません）。

いずれにしても、条件（この場合C）があらわす事象の出現確率を個別に検討すれば、正答に至るのだと思います。この問題を考え続けられたのは、東大工　院卒さんとふふ・・・さんの「重み」についての意見があったおかげです。感謝いたします。

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以上をベースとするとＢ）スレタイの問題が考えやすくなるように思います。つまり、「日曜生まれの女の子」の判明の仕方が、日曜生まれの女の子が2人いる場合、そうでない場合に比べて倍の確率になるか、等しいかで判断すればよい。そう考えると、スレタイの条件は「日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言う」であり、この答えが返ってくる確率は日曜生まれの女の子が1人でも2人でも同じですから（日曜生まれの女の子が少なくとも一人はいるかと聞いているのと同義です）、このケースを重複と扱い、16/27に至ると思います。

スレタイ問題については紛れがないと思いますが、それからは離れますが、もし、日曜生まれの女の子がいるという情報が、たとえば子供は皆誕生曜日をプリントしたシャツを着ていることが分かっていて、Sundayとプリントされたシャツを着ている女の子を見ることによって得られたような場合、その子が姉、妹の2倍の確率をもつ事象になるので、答えは1/2となると思います。

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以上です。考えるにあたって、皆さんのレスからきっかけを頂戴しています。一部繰り返しになりますが、東大工　院卒さん、ふふ・・・さん、東大工3人目さん、某私大理学部さん、イワンのばかさんには特に感謝いたします。また、最初に書いた通り、書物・サイトを参考にしましたが、特にヘブライ大学のBar-Hilel, Ruma Falk共著論文"Some teasers concerning conditional probabities"が分かりやすかったと思います。書物のコピーPDF（多分違法）がネットに載っていたのは幸いでした。

それでは、失礼します。考え方に誤りがあったらご指摘いただければ幸甚です。

イワンのばかさん

＞＞【観察２】　呼び鈴をおすと女の子がでてきた。
＞＞この場合も消える可能性は４だけです。のこりの３つの可能性１、２、３は同様に確からしいので、この観察のあともやはり、２人とも女の子の確率は　１／３　のままです。
＞これは東大工３人目さんの例題４とおなじ状況ですから、解答４を拝見すると、こたえは　１／３　ではなく　１／２　になりますね。失礼しました。
＞でてきたのが女の子だった（男の子でなかった）ことから、（男、男）の可能性が排除できるだけでなく、それ以上の情報が得られるということでしょうか。

場合の数の数え方の難しいところです。
２人の子供は、年上－年下、じゃんけん勝ち－負け、背が高い－低い、
何でも良いので「区別の仕方を適切に定めたら」場合の数は数えやすくなります。

この【観察２】では、出てきた子供－残った子供、と識別すると、
全ての場合の数４通り　（女女、女男、男女、男男）の確率は等しく１／４ずつであり、
女の子がでてきたことで（女女、女男）の２通りだけが残ります。

初めに年上－年下で識別した場合は（女女、女男、男女、男男）のどの女が出てくる確率も等しいので・・・
と１クッション検討段階を増やして同じ結論に到達します。（ちょうど法学部さんの投稿にも書かれています）

スレ違いですが、昨夜の「容疑者Ｘの献身」面白かった。堤真一の演技も素晴らしい。

妻「ママ友と映画見たよ。良かった。」
娘「小学校の休み時間に原作のラストシーンを読んで号泣しちゃった。」

家族から周回遅れでの鑑賞でした。（笑）

平凡もまた楽し

失礼しました。前レス中、16/27とあるところは13/27の誤りでした。