東大生正解率８％の問題

そもそも相手の意図に沿っているかどうかは確率論の話ではなーい。


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ふふ・・・さんが確率の基本がわかるようになる確率は0〜1％だけど、昨日わかっていた確率はわかっていた・いないの1/2。ふふ・・・さん的にいえばこうなんでしょうねえ 笑。

たんににこども２人の性別だけの問題について、わたし自身考えが一定していませんし、ちがったご意見もいただいていますが、ある数学の本（＊）でつぎの例を見つけましたのでご報告します。

（＊）小針アキ宏　確率・統計入門　岩波書店
著者の遺稿を友人たちが整理して出版され本で、広中平祐氏が序文を書いています。

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例題３　子供２人の家庭は上が女の子で下が男の子という家庭，その逆の家庭，２人とも男の子，２人とも女の子と４通りあるが，それらは同等で各１／４の確率で分布しているとする．いまある家庭を訪問したところ子供は２人であること，１人は男の子であることがわかった．もう１人も男の子である確率はいくらか．

解　これも，うっかりすると１／２と答えそうになる．上の子を先に書くと

Ω＝｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝

の４点から成っており，この４点に１／４ずつの確率がのっている．前提となっている条件Ａは

Ａ＝｛（男，男），（男，女），（女，男）｝

もとめる場合Ｂは

Ｂ＝｛（男，男）｝

だから

ＰA（Ｂ）＝Ｐ（Ａ∩Ｂ）／Ｐ（Ａ）＝（１／４）／（３／４）＝１／３

なのである．金貨を投げて表が出たからと言って，つぎに表が出るか裏が出るかは，まったく予測不可能だが，二つを同時に投げて片方が表と知ったら，他方は裏と賭ける方が，表に賭けるより２倍有利なのである．

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「１人は男の子であることがわかった」の部分は、どのようにしてそれがわかったかについてはふれられていません。関係ないのでしょうか？

郷ひろみ「男の子女の子」を聴きながら。

И

ちなみに上でご紹介した問題の前問は

三つの室があり，中におのおの女性２人，男性２人，男女各１人が入っている．一つの室をノックしたところ女性の声で‘誰か来たわよ，あなた出てちょうだい’と聞こえた．男性が出てくる確率はいくらか．

で、こたえは１／３とあたえられています。

И

イワンのばか さん

【3040070】
＞＞「１人は男の子であることがわかった」の部分は、どのようにしてそれがわかったかについてはふれられていません。関係ないのでしょうか？

ここで、「どのようにして・・・」と考えること自体が間違いを引き起こす元となっています。

A「１人は男の子であることがわかった」という文章はそれ自体、数学的に明確に定義できている文章です。（男、男）、（男、女）、（女、男）という組み合わせの何れかであることを述べていること以外の何物でもありません。

B「最初にあった子が男の子であった（それにより一人は男の子であることがわかった）」というのは、全く別の条件です。

Bは、一人目の子＝男の子、であり、一人目の子と二人目の子が明確に識別できる点でAと条件が本質的に異なるのです。

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ここさえ理解されれば、問題文の表現に多少の改善の余地があるとはいえ、正解に一切の意義をはさむ余地はないと私は考えています。

勿論、異次元の国語で異次元の算数・数学を語れば、答えが異なることもあるでしょうが、それは真実ではありません。数学の真理は一つです。

すでに東大工学部 院卒さんから的確なご指摘をいただきましたが、単純なふたりの子供の性別の組み合わせの確率の問題（４４ページ）について、コンピュータ・シミュレーションをおこいました。そして、それぞれ１０万回の試行による結果は、

（１）女の子がいるという知識のみのとき（女、女）である確率　33.37%
（２）ひとりの女の子と対面したとき（女、女）である確率　　　49.95%

となりました。したがって、もしわたしのプログラムが問題を正しく記述しているとすると、（１）、（２）の確率は、それぞれ、１／３、１／２　となると思われます。のこる問題は、

◇斎藤さんから女の子がいると聞いた
◇物干しにセーラー服が干してあるのを見た
◇女の子の歌声がきこえた
◇雛人形がかざってあった

などが（１）に相当するのかどうかということになるかと思います。（わたしは相当すると考えています。）

使用したプログラムはつぎのとおりです。処理系は Python 3.3　（python.org より入手）です。

# Program1: 女の子がいるという知識のみのとき（女、女）である確率

import random

trials = 0
total = 0
gg = 0

while trials < 100000:
　　children = random.choice([('G', 'G'),
　　　　　　　　　　　　　　　('G', 'B'),
　　　　　　　　　　　　　　　('B', 'G'),
　　　　　　　　　　　　　　　('B', 'B')])
　　if children != ('B', 'B'):
　　　　total += 1
　　　　if children == ('G', 'G'):
　　　　　　gg += 1
　　trials += 1

print('2 girls rate = ', gg / total * 100, '%')


# Program2: ひとりの女の子と対面したとき（女、女）である確率

import random

trials = 0
total = 0
gg = 0

while trials < 100000:
　　children = random.choice([('G', 'G'),
　　　　　　　　　　　　　　　('G', 'B'),
　　　　　　　　　　　　　　　('B', 'G'),
　　　　　　　　　　　　　　　('B', 'B')])
　　met = random.randint(0, 1)
　　other = 1 - met
　　if children[met] == 'G':
　　　　total += 1
　　　　if children[other] == 'G':
　　　　　　gg += 1
　　trials += 1

print('2 girls rate = ', gg / total * 100, '%')

＊注意＊
Python ではインデントのための行頭のスペースに意味がありますが、エデュの投稿では行頭の半角スペースが削除されるため、上のプログラムでは行頭に全角スペースを使用しています。コピー・ペーストして実行されるさいは、行頭の全角スペースを２倍の個数の半角スペースに置き換えてください。

И

東大工　院卒さん

理系ご専門の方に口をはさむようで申し訳ありません。

私、最初は熱意なかったんですが、面白くなってきて、ネットを色々調べてみるとこういう風に書いてあります。

英文wikiの”Boy or Girl paradox”というのが全体の参考になりました。
http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

それによると、この問題が最初に出たのはアメリカで1950年代、またMartin Gardner絡みです。Gardnerは最初1/3という答えを出して、後にわかり方しだいでは1/2にもなりうる曖昧な問題だと言ったんですが、やはり1/3のインパクトが強く、こっちだけが有名になったようなんです（数学者でunfortunatelyと書いている方がおられます。）その後90年代に例のモンティホール問題のマリリン・サヴァントが、わかり方の留保はつけず1/3だと言って、アンケートまでとって35%という数字を出したんで、絶対1/3が正しいという空気が支配的になった。ところがまた最近になってやはりわかり方は影響するという意見が数学者からでて、先ほどの英文wikiでは一般的には1/2が正しい答えになるケースが多いだろうとまで言っています。

ご紹介いただいた小針さんは1971年に亡くなられているようですから（41歳で亡くなられたんですね．．．）、わかり方の議論が出る前だったんじゃないでしょうか。専門の数学者間でも意見が分かれたくらいですから、ご存じなかったことは故人に不名誉ではないでしょう。

日本語のネット文献はあまりしっかりしたものがないですが、一つだけ高校の先生が1980年に、1/3だけが正解と思っていたけれど1/2にもなりうることを子供の解答を見ていて気が付いたというものがあります。柔軟な方で素晴らしいと思いました。
http://ir.lib.osaka-kyoiku.ac.jp/dspace/bitstream/123456789/17787/1/KK_og_ikeko_18_038[削除しました]

わかり方が影響するということの説明は、他の方が紹介されていた、次のがわかりやすいと私も思います。
http://www.clear.rice.edu/comp280/10spring/class/19/Teasers[削除しました]

文献学的にはこんな感じでしょうか。

迂回さん

＞斎藤さんである場合とある人である場合とで違うことが理解できない

私の考えを書かせていただきます。性別だけのほうでやってみます。

一人の性別がわかっている場合の答えを1/3とする考え方は、男男・男女・女男・女女が等しい可能性で起こるというところから出発していますが、これは2人の子供がいる家庭をたくさん集めてきたらこうなるということを前提としている、つまり不特定（ランダム）な家庭を想定しているということになると思います。ふふ・・・さんは、ある人、ならこう考えても良いが、斎藤さんについては特定の家庭なのだから、男男、男女、女男、女女が等しい可能性で起こるという出発点がそもそも間違い、特定の家庭の一人の性別が分かったことで、不特定であり確率を考えることが出来るのはもう一人の子の性別になっていると主張されているのだと思います。それなら1/2になるのは当然ですね。

私はこれは違うと思います。そもそも斎藤さんで特定されるのは名前だけです。これで世の中に一人しかいない斎藤さんと特定するのは到底無理だと思います。従いたくさんの斎藤さんを想定して考えることになります。そして、斎藤という名前がつくと男が多く生まれてくるとか特別の傾向が分かっていない限り、結局2人の子供がいる家庭をたくさん集めたケースを前提とすることとなり、4つの等しい可能性から出発して良いということになると思います。

また、もし斎藤さんを特定と考えるとしても、沢山の家族を想定することは排除されない（この特定のくじを引いてあたる確率は、たくさんのくじを引いたあたり確率に等しいと考えるのが自然で、当たる当たらないの1/2ではない）と思いますが、こちらは山勘でしかないので、差し控えておきます。

勝手な想像でいろいろ言って済みません。失礼します。