中学受験算数　教えてください３｜掲示板スレッド

できれば出典をおしえてくださいね。
３についての議論がそのままヒントです。
３個の○があると考えましょう。
一列に並べて、境界線を入れて区切ることにします。
境界線を入れることのできる「場所」は○と○の間、２か所ありますね。
示された４通りというのは、２か所の「場所」について「区切るか区切らないか」の選択を繰り返した結果です。
つまり２×２＝４ということです。
５を分割するなら境界線を入れることのできる「場所」は
５－１＝４(か所)
なので
２×２×２×２＝１６(通り)
１０を分割するとなると「場所」は
１０－１＝９
より、
２×２×２×２×２×２×２×２×２＝５１２(通り)
となるはずです。
順序を考えないなら「分割数」という面白い問題になります。


高校レベルなら「重複組み合わせ」「二項定理」で説明できますが…

桜の森の満開の下さん
アドバイスありがとうございます。
出典は、数年前の某中学校で配られた、入学までにわかっておきたいというプリントです。
解答はついていません。
　
>５を分割するなら境界線を入れることのできる「場所」は
>５－１＝４(か所)
>なので ２×２×２×２＝１６(通り)
　
すみません。
いまひとつわからなくて、教えてください。
５は下記の13通りしか思いつかないのですが、16通りあるのでしょうか？

1＋1＋1＋1＋1
1＋1＋1＋2
1＋1＋2＋1
1＋2＋1＋1
1＋2＋2
1＋3＋1
1＋1＋3
2＋1＋1＋1
2＋1＋2
2＋2＋1
2＋3
3＋1＋1
3＋2

私の解釈が誤っているのでしょうか？
再度ヒントを頂ければ幸いです。

１のときは１通り
２のときは２通り
３のときは４通り
４のときは
　最初に１なら残り３は４通り
　最初に２なら残り２は２通り
　最初に３なら残り１は１通り
　最初の数は１，２，３の３通りしかないので、合計７通り
５の時は同様に７＋４＋２≒１３通り
６の時は１３＋７＋４≒２４通り
７の時は２４＋１３＋７≒４４通り
８の時は４４＋２４＋１３≒８１通り
９の時は８１＋４４＋２４≒１４９通り
１０の時は１４９＋８１＋４４≒２７４通り

５を数える場合、
最後に１を数えたときは、その前は４
最後に２を数えたときは、その前は３
最後に３を数えたときは、その前は２

したがって、
５の数え方＝２の数え方＋３の数え方＋４の数え方
となります。

また、これは、以下の一般式（漸化式）で表すことができます。
Ｎの数え方＝Ｎ－３の数え方＋Ｎ－２の数え方＋Ｎ－１の数え方

前２項の和で表される数列を「フィボナッチ数列」というのに対し、
このように前３項の和で表される数列を「トリボナッチ数列」と言います。

大変失礼いたしました。
１、２、３のみが可能ということだったのですね。
だとすると以前京都大学などで出題されている「階段飛ばし」の漸化式と同様の考え方で処理できますから、ねむりひめさんの考え方でよいはずです。


１の場合は１通り。
２の場合は境界線を入れるか入れないかなので２通り。
３の場合は２×２＝４通り
ｎ＝４、５、６…では
求める分割方法をｆ(ｎ)とおくと
ｆ(ｎ)＝ｆ(ｎ－１)＋ｆ(ｎ－２)＋ｆ(ｎ－３)
で順次計算できることになります。

ねむりひめさん、算数大好きさん、桜の森の満開の下さん、
ありがとうございました。
とても勉強になりました。
　
>前２項の和で表される数列を「フィボナッチ数列」というのに対し、
>このように前３項の和で表される数列を「トリボナッチ数列」と言います。
数学は奥深いです。

算数大好きさん
５の数え方＝２の数え方＋３の数え方＋４の数え方 ということは、
４の数え方＝２の数え方＋３の数え方ということで、
４の数え方＝２＋４　となるのでしょうか？
でも4は、７通りありますよね。
このあたりがよく理解できません。

よろしくお願いいたします。

おせっかいかもしれませんが、ねむりひめさんが完璧な説明をなさっています。
どうかご参考になさってください。
他の問題でも少し気になったのですが、カルピスサワーさんが取り上げた良問では数学や算数における大原則がからんでいるので、けっしてテクニック云々ではないということを理解していただけると嬉しいですね。