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投稿者: 数の性質 (ID:/pUomOqj8zE) 投稿日時:2010年 07月 29日 13:54
1から100までのすべての整数の積を8で割った場合、何回目で割りきれなくなるか(答えが整数でなくなるか)という問題です。
8を素因数分解すると、2×2×2。
100÷2=50
50÷2=25
25÷2=12...1
12÷2=6
6÷2=3
3÷2=1...1
合計:97回割れるが、2の3乗なので、97÷3=32...1
よって、答えは33回目。
この解き方の原理を子供に教えづらく・・・。
何かいい教え方ありませんか?
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【1810907】 投稿者: どちらが分からないのかな? (ID:4NsuFuHBa0M) 投稿日時:2010年 07月 29日 18:29
2で97回割り切れるの方が分からないのだとすると、1~100までの積に2が何個含まれているかということで考えられます。
1~100までに2の倍数は、100÷2=50なので、50個。
1~100までに4の倍数は、100÷4=25なので、25個。25個。4=2×2のうちの1つの「2」は2の倍数で出しているので、ここで新たに加わるのは25個。同様に、
1~100までに8の倍数は、12個。
1~100までに16の倍数は、6個。
1~100までに32の倍数は、3個。
1~100までに64の倍数は、1個。
ということで、50+20+12+6+3+1=97。
97÷3の方は、どう教えたらいいんだろ? -
【1810935】 投稿者: そもそも (ID:M4OoFPtHnlw) 投稿日時:2010年 07月 29日 19:15
その解法がやや?です。
塾でそのような指導はしないはず。
基本は↑の、投稿者「どちらが~」さんのやり方です。
先に練習として、1~100までの整数の積を3で何回割れるか、↑の考え方で解けますか?
それができたら次に、1~100までの整数の積を6で何回割れるか考えて下さい。
ただしこの時、2と3の両方の数を求める必要はありませんよね? -
【1811219】 投稿者: 剣 桃太郎 (ID:a7txng60mWA) 投稿日時:2010年 07月 30日 00:26
>97÷3の方は、どう教えたらいいんだろ?
8を素因数分解すると、2×2×2。
2を3回かけた数が8なので、8で割れる回数は、2で割れる回数の1/3と言うことだと思います。 -
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【1811448】 投稿者: こんなのどうです? (ID:AILAB2Usit2) 投稿日時:2010年 07月 30日 11:37
準備として、次のようにかいて観察してみます。
N=1×2×3×4×5…×100とかいてから、
2の倍数のしたに、×2を書いてみましょう。そのあとで
4の倍数の下にはさらに下の段に×2と書きます。
そして8の倍数にはさらにその下の段に×2と書きます。
画面表示のフォントによってずれてしまうかもしれませんが、
N=1×2×3×4×5…×100
×2 ×2 ×2
×2 ×2
8の倍数のしたには×2が3個、16の倍数では4個になります。
1段目は×2は50個、2段目は25個、3段目は12個…となります。
こう観察してからからスレ主様の疑問にもどります。
100÷2=50までは問題ないですよね。
1~100間に2の倍数がいくつあるか、がわかります。
ここまでで、Nには×2が50あることがわかります。
次の50÷2というのはこの50個のなかに、さらに×2である4の倍数はいくつあるかを調べているのです。
この50個は
2、4、6、8、10、12、14、…100ですから、4の倍数は1つおきにでてきます。つまり半分です。
50÷2=25
これでNにはさっきの50個のほかにさらに25個の×2があることがわかります。
この25個というのは
4、8、12、16、20、24…100ですから、
同様に、この25個のなかのさらなる×2、つまり8の倍数の数をしらべます。
これもやはり1つおきで半分ですね。
25÷2=12…1
これを繰り返した結果、×2の総数は
50+25+12+6+3+1=97
であることがわかります。
Nの中には2×2×2×2×2…と、×2が97個続きます。
8は2×2×2と3個です。
なので、97÷3=32…1
32回は割り切れて、33回目ではわりきれない、という回答になります。
いかがでしょうか? -
【1811472】 投稿者: スレ主です。 (ID:/pUomOqj8zE) 投稿日時:2010年 07月 30日 12:36
皆様、丁寧な解説を頂きまして、誠にありがとうございます。
質問内容が不十分で恐縮です。
100÷2,50÷2,25÷2,12÷2,6÷2,3÷2で97個
100÷2,100÷4,100÷8,100÷16,100÷32,100÷64で96個
この2通りのやり方、両方とも同じことをしている、数の違い(96と97)の意味は
理解しております。
皆様の解説により、8=2×2×2という、ひとかたまりが何個あるかを調べるために、3分の1ではなく、
3で割ることは、愚息にも理解させました。
(こういう解釈でいいのですね?)
では、12=2×2×3で割る場合はというと、3で割るより2で割ってからどうすればいいのでしょうか?
2×2で割った方が出てくる数量は少ないのですが、出てきた数量を2で割っただけでは、4で何回
割れるかという問題になってしまうので・・・。
大きい数字で割ったほうが、出てくる答えの数量は少ないので、6で割る場合は、3で何回割れるかを
調べればいいと教えましたが、わたしの方も混乱してしまってます。
子供同様、私のポテンシャルにも問題があるのは承知で、引き続きご享受頂ければ幸いです。 -
【1811483】 投稿者: スレ主です・・・訂正 (ID:/pUomOqj8zE) 投稿日時:2010年 07月 30日 12:56
すみません。
÷2を続けるのでは、個数が出ないので、やはり二乗で割っていくこと(下段)が正解でしたよね。
「同じことをやっている」は大きな間違いでした・・・。
投稿者様の言っている通り、訂正します。 -
【1811509】 投稿者: こんなのどうです? (ID:agUujoNJoPc) 投稿日時:2010年 07月 30日 13:46
12で割る場合は×3の数を調べることを追加すればいいだけです。
100÷3=33…1
33÷3=11
11÷3=3…2
3÷3=1
よって×3の数は33+11+3+1=48
ここまでで混乱するようでしたら、
8のときのように、N=1×2×3×4×5×…×100の下に8のときと同じように×3を書いてみてください。
N=1×2×3×4×5×…×100
の中には×2が97個、×3は48含まれています。
このなかから2×2×3のセットがいくつ取れるか計算すればいいんです。
97個の×2で、2×2がいくつとれるかというと、
97÷2=48…1
なので48個とれますね。
×3も48あるので、
Nから×12は48取れることがわかります。
よって、48回割り切れて、49回目に割り切れなくなります。
どうです?