ニュートン算教えて下さい。｜掲示板スレッド

雪だるま様

ちなみに計算式と言葉だけで説明するとこんな感じです。ぱぱっと暗算でやったのですが、答えは合ってますか？


ポンプ１台が１分間にくみ出す水の量を①とおくと、

５台のポンプで２０分間くみ出したときの水の量は①×５×20＝100と表せます。
その量は「最初から井戸にたまっていた水の半分」と「20分間にわき出た水の量」なので、
「井戸の半分」＋「わき出た20分」＝100となります。・・・式１

３台のポンプで４０分間くみ出したときの水の量は①×３×40＝120と表せます。
その量は「最初から井戸にたまっていた水の残り半分」と「40分間にわき出た水の量」なので、
「井戸の半分」＋「わき出た40分」＝120となります。・・・式２

式１と式２を消去算っぽく計算してみると、どちらの式にも「井戸の半分」あるのでそれは消えちゃいます。
つまり、40－20＝20分間にわき出た水の量が、120－100＝20にあたることが分かります。

したがって、１分間にわき出る水の量は20÷20＝①となります。

※　ポンプ１台が１分間にくみ出す水の量と１分間にわき出る水の量が同じ。

ここで再び式１に戻ってみると、「わき出た20分」の量は20なので、
「井戸の半分」は100－20＝80、最初から井戸にたまっていた水の量全体は80×２＝160と表せます。

最後は「役割分担」の発想を利用します。

６台のポンプが１分間でくみ出す水の量は、①×６＝⑥と表せます。
その能力全体のうちの①は「１分間に①ずつわき出る水をくみ出す係」として使い、
残りの⑥－①＝⑤は「最初から井戸にたまっていた160をくみ出す係」として利用します。

すると、わき出る水はいつでも回収できているので、あとは最初から井戸にたまっていた160の水を
すべてくみ出した瞬間に井戸は空になります。

というわけで、答えは160÷⑤＝32分間になります。


それと、もしよろしければ図を含めた解説を作成したいのですがよろしいでしょうか？
その方がコチラとしてはより分かりやすい説明ができて精神的にスッキリするので(笑)

　ニュートン算(典型的なのは牧場の話)を考えるときは、次の３つの要素を常に念頭に置くと良いと思います。

　１．最初に生えている草の量
　２．１日に生える草の量
　３．牛１頭が１日に食べる草の量

　最初に牧場に草が生えていて、放っておけば一定の速さで草は増えるのだけれど、牛が草を食べて草は減って行く…、というイメージが先ず大切。
　そして、放牧する牛の頭数と草がなくなる日数の具体例が２つあると、上記３つの変量の比が決まる。

　この感覚を掴んでおけば、殆どの問題は解けるようになります。

　具体的な解法としては、

Ａ．牛１頭が１日に食べる草の量を１と置く
Ｂ．最初に生えている草の量をある数と置く

の何れかが一般的と思います。（他にも幾つかありますが。）

　実際の問題では、牧場の草の話が、チケット売り場に並ぶ人数になったり、泉や井戸や水槽の水の量になったりするだけです。

　この問題では、以下のように考えると良いと思います。

〔解法Ａ〕ポンプ１台が１分で汲み出す水の量を１とすると、同量の水(井戸の半分)を減らす為に、５台２０分で１００、３台４０分で１２０の水を汲み出したが、後者の方が何故２０だけ多く水を汲み出す必要があったかを考えると、掛かった時間差２０分で水が２０だけ湧きだしたから。つまり、１分で１の水が湧き出すことが分かる。

〔解法Ｂ〕ポンプ５台２０分でなくなる水の量と３台４０分でなくなる水の量が同じ(井戸の半分)だから、２０と４０の最小公倍数４０を井戸の半分の水量とする。このとき、１分でポンプ５台だと２、３台だと１の水が減る。この差の１が何故生じたかと考えると、湧き出る水は差に影響しないから、ポンプ２台分の差と分かる。つまり、ポンプ１台１分で０.５の水を汲み出す。

　冒頭の３つの要素の内１つをある数と置くことで、もう１つの要素をその数で表わすことができました。簡単な計算で最後の１つも分かります。これでどんな設問にも対応できます。

　ニュートン算は非常に典型的な問題が多く、一度しっかり理解すれば寧ろ簡単に感じられると思います。

答え32分であってます！念のため　様　すごいですね・・・暗算なんて！私の娘も暗算（長い計算）はやっと最近できるようになってきました（笑）。
新屯　様　とても分かりやすいですね！詳しい説明有難うございます！

お二人様共とても分かりやすいです！お陰で娘も納得しました（笑）。まだまだ解法コメント待ってます！

32分で合っててホッとしました。
偉そうに解き方を説明したクセして「答え間違ってるんだけど・・・」みたいなオチがつくのは
けっこう恥ずかしいので(笑)

さっきの説明に図を付けるとこんな感じになります。アドレスの最初に「h」を付けてご覧ください。
特に「役割分担」の部分は図があった方が分かりやすいかなー、と思っています。
ttp://kimagure123.bijual.com/Entry/249/

スレ主様の娘さんが納得できたようで何よりです。
そういうことの積み重ねで算数が少しずつ得意になっていくといいですね。

スレ主様へ　様
こちらの方は念のため　様ですかね？
図とても分かりやすいですね！この図も私のＰＣに保存しますね（笑）。
まだまだ解法待ってます！

井戸の水量とかかる時間は比例するので、満水の井戸の水をくみ上げるのにポンプ５台だと20×2＝40の40分、ポンプ3台だと40×2＝80の80分です。ここからは新屯さんの解法Ｂとほぼ同じです。満水の井戸水を１とすると１分間にくみ上げる水量はポンプ5台で40分の1と湧き出ている水の量、ポンプ3台では80分の1と湧き出ている水の量です。その差はポンプ２台分のくみ上げる量で全体の80分の1です。つまりポンプ1台では1分間に全体の160分の1をくみ出しています。ポンプ6台で1分間に減っていく量は、５台の１分間に減る量にポンプ1台分のくみ上げる量を加えればよいので、40分の1と160分の1の和の32分の1となります。よってポンプ6台では32分で空になります。この考え方はくみ上げる量は減る量と湧き出る量の和であることをしっかり理解することが大切です。分数表示ができなくて読み辛くなりました。新屯さんのように最小公倍数を利用すると計算がすっきりしますね。

家庭教師　様
とても分かりやすい解説ありがとうございます！感謝感謝です。
解法まだまだ待ってます！