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投稿者: 秋 (ID:jZd.8GYQOg.) 投稿日時:2010年 10月 04日 09:52
恥ずかしながら、すごろくが場合の数になるのもいまひとつわかりません。
すごろくゲームがありまして、ふりだし〜10回目で上がります。4回目が1マスもどるで、9回目がふりだしにもどるです。
ふりだしから2回さいころをふり上がりになるのは表を作ればわかります。
ふりだしから3回さいころをふってちょうど上がりになるのは何通り?の問題ですが、
樹形図を書くのではなくて、解法をみるとたし算です。上がりはふりだしから10進んだところで3回目の目の合計が10になるときを考えます。1回目に5、6が出るとき2回目で上がりを通りすぎてもどる事も考えます。1回目に1が出るとき2回目と3回目の合計は10―1で9です。
2回目に3がでると1マスもどるで3回目ではあがりません。とあり、9=4+5、5+4、6+3で3通りだそうです。なぜ10―1にするのかもわかりません。
塾ではすごろくの絵が書いてあり、表(2回ふりあがる時)で時3回目では樹形図で順番に解いていくだけでした。
3回目になった時の出し方が全くわかりません。
例えば階段の上り方でも、6段の階段があり1段とばしで上るとき、順番にしていくとわかりますが6―1=5で5通りでなぜ引くのかわかりません。
子供にも全く説明できません。子供に教えるようにわかりやすく教えて頂きたいです。お願いします。
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【1871168】 投稿者: 文章のみは難しい (ID:zVNbe7kB1Xw) 投稿日時:2010年 10月 04日 11:02
1引くのは一回目に1を出しているからでしょう
残り9マスをサイコロの出目で進む場合36、45、54、63があり36では戻されるから無理
足し算と言っても、一回目が3か4のとき、5のとき、6のときを分けてるだけですから樹系図と変わりません
樹系図は場所をとるから慣れたら頭で考えればいいってことです
階段の例はいまいちどんな問題か分からないのですが、一段飛ばしが一回だけできるなら、六段上るための五回の移動から一回だけ二段上るので、その場所をどこにするのかなあ5から1選ぶので5通りです -
【1878036】 投稿者: かぼちゃん (ID:.Txv..4ahTE) 投稿日時:2010年 10月 09日 22:30
うちの子は小5男子です。
この問題を見せたら,「やってみればいいじゃん。」といいます。
たまにはいいこというじゃないかと思って,まずすごろくを書かせてみたら,正しく書けません。このあたりがうちの子の課題です。
実際,この問題は,さいころ使ってすごろくやってみると一番分かりやすいとは思いますのでお薦めします。まず,すごろくをかいてみます。
スタート→A→B→C→D→E→F→G→H→I→ゴール
間の数(→の数のことです)は10あります。
ところで,このすごろくの特別ルールとしては,
(1)Dで止まったら,Cに戻る。
(2)Iで止まったら,スタートに戻る。
(3)ゴールでちょうど止まらなかったら,超えた分だけ左に戻る。
秋さんJr.が塾で経験した方法を想定しながら考えていきます。
1回目のさいころの目は1~6のいずれかですから,それで場合分けした上で,3回目でちょうどゴールできる「場合の数」を調べます。
(だから,「すごろく」も「場合の数」の問題になるのだと思います。)
★(1)★1回目のさいころの目が1の場合→Aに来ます
このあとゴールするためには,間の数が10-1=9あります
よって2回目の目の数+3回目の目の数=9になる場合を考えます
2回目の目の数+3回目の目の数の結果を表にすると
2回目の目の数
| 1 2 3 4 5 6
-+-----------------
3|1 2 3 4 5 6 7
回|2 3 4 5 6 7 8
目|3 4 5 6 7 8 9
の|4 5 6 7 8 9 10
目|5 6 7 8 9 10 11
の|6 7 8 9 10 11 12
数|
よって,和が9になるのは
(2回目の数,3回目の数)が(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)
の組み合わせです。
ところで,2回目に3が来た場合,Dに止まります。
これはルールにより,Cに戻されます。
Cからだと,3回目のさいころで6を出してもゴールに届きません。
よって,(3,6)は除くことになります。
よって,1回目のさいころの目が1の場合,
(2回目の数,3回目の数)が(4,5)(5,4)(6,3)の3通りが考えられます。
(※以上が秋さんの疑問の大部分に対する答えです。)
★(2)★1回目のさいころの目が2の場合→Bに来ます
このあとゴールするためには,間の数が10-2=8あります
よって2回目の目の数+3回目の目の数=8になる場合を考えます
(1)で使った表を利用して
(2回目の数,3回目の数)が(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)が考えられます。
ところで,2回目に2が来た場合,Dに止まります。
これはルールにより,Cに戻されます。
Cからだと,3回目のさいころで6を出してもゴールに届きません。だから(2,6)は除くことになります。
よって,1回目のさいころの目が2の場合,
(2回目の数,3回目の数)が(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)の4通りが考えられます。
★(3)★1回目のさいころの目が3の場合→Cに来ます
このあとゴールするためには,間の数が10-3=7あります
よって2回目の目の数+3回目の目の数=7になる場合を考えます
(1)で使った表を利用して
(2回目の数,3回目の数)が(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)が考えられます。
ところで,2回目に1が来た場合,Dに止まります。
これはルールにより,Cに戻されます。
Cからだと,3回目のさいころで6を出してもゴールに届きません。だから(1,6)は除くことになります。
また,2回目が6の場合,Iに止まるため,ルールによりゴールに戻されます。だから(6,1)もゴールできません。
よって,1回目のさいころの目が3の場合,
(2回目の数,3回目の数)が(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)の4通りが考えられます。
★(4)★1回目のさいころの目が4の場合→Dに来ますがルールによりCに戻ります。よってあとは上の(3)と同じことなので,4通りです。
★(5)★1回目のさいころの目が5の場合→Eに来ます
このあとゴールするためには,間の数が10-5=5あります
まず,2回目の目の数+3回目の目の数=5になる場合を考えます
(1)で使った表を利用して
(2回目の数,3回目の数)が(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)が考えられます。
2回目が4の場合,Iに止まるため,ルールによりゴールに戻されます。だから(4,1)はゴールできません。
さらに,2回目の数が大きすぎてゴールに止まりきれない場合があります。
2回目の数が5の場合→Iに止まるため,ルールによりゴールに戻されます。
2回目の数が6の場合→Hに止まるため,3回目に2が出ればゴールできます。
よって,1回目のさいころの目が5の場合,
(2回目の数,3回目の数)が(1,4)(2,3)(3,2)(6,2)の4通りが考えられます。
★(6)★1回目のさいころの目が6の場合→Fに来ます
このあとゴールするためには,間の数が10-6=4あります
まず,2回目の目の数+3回目の目の数=4になる場合を考えます
(2回目の数,3回目の数)が(1,3)(2,2)(3,1)が考えられます。
2回目が3の場合,Iに止まるため,ルールによりゴールに戻されます。だから(3,1)はゴールできません。
さらに,2回目の数が大きすぎてゴールに止まりきれない場合があります。
2回目の数が4の場合→Iに止まるため,ルールによりゴールに戻されます。
2回目の数が5の場合→Hに止まるため,3回目に2が出ればゴールできます。
2回目の数が6の場合→Gに止まるため,3回目に3が出ればゴールできます。
よって,1回目のさいころの目が6の場合,
(2回目の数,3回目の数)が(1,3)(2,2)(5,2)(6,3)の4通りが考えられます。
★まとめ★
上の★(1)★★(2)★★(3)★★(4)★★(5)★★(6)★の場合を全部足すと
3+4+4+4+4+4=23 (答え)23通り
(正直言ってこの解法は時間かかりすぎます。見直ししていないため,間違っていたらすみません)
次の階段問題ですが
「(6)
「(5)
「(4)
「(3)
「(2)
_「(1)
こんな階段があったとします。たての線に(1)から(6)の番号をふります。
一段とばしするたての線の組み合わせは,
(1)(2) (2)(3) (3)(4) (4)(5) (5)(6)
の5つです。これをあえて計算で求めれば6-1=5ということになるのではないでしょうか。
これらの問題は,うちの子も解けませんが,「場合の数」というより「間の数」がきちんと理解できていないためのようです。 -
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【1878178】 投稿者: 樹形図で (ID:h59hid3ZLpE) 投稿日時:2010年 10月 10日 01:48
この問題は樹形図が一番良いと思います。
なぜなら、マス目の命令や、ゴールを超えた時は戻るという条件付きなので、
順列・組み合わせの計算では、逆にややこしくなります。
ちょっとまぎらわしいのですが、ゴールはふりだしから「10マス目」で
問題は「10回目」という言い方ではないですよね?
また、ゴールから戻って9マス目に止まった場合もスタート地点に戻されるのかどうかが
分からないと、問題説明として不十分です。
かぼちゃんさんのやり方で問題ありません。
解説も書かれたので、長く感じたのでしょう。
ただ、戻って9マス目にきた場合もスタートに戻されるのなら
(5,6,2)(6、5,2)がダメになります。 ※(6,6,3)は(6,6,2)の間違いですよね
その場合は、3+4+4+4+3+3=21通り。
場合の数は、計算で解く考えを身につけることが大事ですが、
樹形図で解くほうが良い問題もありますから、
子供には判断が難しいですね。 -
【1878223】 投稿者: 四時の婆 (ID:BbajEJB7mKA) 投稿日時:2010年 10月 10日 04:58
かぼちゃん さんの回答が丁寧な解説付きでわかりやすかったので
このややこしい問題を考える気が起きました。
1回目で5または6,2回目が大きすぎるとき,ですが。。。
★(5)★1回目のさいころの目が5の場合→Eに来ます
2回目の数が5の場合→2回目でちょうどゴールしてしまいます。
2回目の数が6の場合→Iに止まるため,ルールによりゴールに戻されます。
よって,(5,5,-)(5,6,1)はダメで
(5,1,4)(5,2,3)(5,3,2)の3通りが考えられます。
★(6)★1回目のさいころの目が6の場合→Fに来ます
2回目の数が4の場合→2回目でちょうどゴールしてしまいます。
2回目の数が5の場合→Iに止まるため,ルールによりゴールに戻されます。
2回目の数が6の場合→Hに止まるため,3回目に2が出ればゴールできます。
よって,(6,4,-)(6,5,1)はダメで
(6,1,3)(6,2,2)(6,6,2)の3通りが考えられます。
全体では
3+4+4+4+3+3=21 (答え)21通り
だと思います。