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投稿者: ファミマ (ID:ugtGo1701sw) 投稿日時:2010年 10月 07日 19:42
100cm離れたAB間を点PはAからBへ、点QはBからAへ同時に出発した。
2点は休まず何度も往復し続け、点Pと点Qの速さはそれぞれ20cm/秒、25
cm/秒とする。
(1)5分間に2点は何回重なるか(ただし、AまたはBで重なるときは除く)
(2)20回目に重なるのは何秒後か(ただし、AまたはBで重なるときは除く)
解答は(1)が68回、(2)が86と3分の2秒となっています。
この解答はAとBの重なりを除いていないと思うのですが、いかがなものでしょうか?
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【1875794】 投稿者: かぼちゃ (ID:.Txv..4ahTE) 投稿日時:2010年 10月 07日 23:20
ファミマさんがいうように解答が間違っています。「AまたはBで重なるときは除く」と条件をつけているのに,解答はこの条件を無視しています。
Pは20cm/sなので100cm片道に5秒かかります。
Qは25cm/sなので100cm片道に4秒かかります。
(秒) 0 5 10 15 20 25 30 35 40
Pは A→ B← A→ B← A→ B← A→ B← A
(秒) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
Qは B← A→ B←A→ B←A→ B← A→ B← A→B
お互いこんな感じに動き,40秒周期で同じことを繰り返します。
Qの矢印の各区間に注目し,一区間でPと矢印の向きが反対になる時間帯があれば重なります。
10の区間のうち重ならないのは16~20秒の区間と20~24秒の2区間だけです。
よって,40秒間に8回重なることになります。
(1)を解きます。
5分間=300秒なので
300÷40=7あまり20
20秒間に重なるのは4回ですから
8×7+4=60 60回が正答です。
多分,問題作成者は,20秒でのAでの重なりも除かなかったのでしょう。その場合の答えは,9×7+5=68となります。
(2)はこの誤った考え方で解いてみます。
40秒で9回重なるのだから
20÷9=2あまり2
よって80秒経過後2回目に重なる場合を考えます。
これはQが4秒後にAで折り返し5秒後にはAから25cm離れた位置に来ます。Pは5秒後にBで折り返します。よってこの後最初PQが重なるのは,お互いの距離100-25=75cmをお互いの速度の和20cm/s+25cm/sで割った時です。
75÷(20+25)=1と3分の2
よってそれまでにかかる時間は80+5+(1と3分の2)=86と3分の2
だから,ファミマさんがいうように「AまたはBで重なるときは除く」という条件が解答では無視されていることが分かります。 -
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【1877684】 投稿者: 天の移動 (ID:NCqy0EJJHtA) 投稿日時:2010年 10月 09日 16:25
かぼちゃさんと同じですが、私も解いてみました。
Pは片道5秒(往復10秒)、Qは片道4秒(往復8秒)掛かります。
先ず、PとQがAを通るのはそれぞれ出発してから何秒後かを調べると、
P:10,20,30,40,50,60,…
Q:4,12,20,28,36,44,52,60,…
となり、2点は20秒後に最初にAで重なり、その後40秒毎にAで重なります。
(40は10と8の最小公倍数)
次に、PとQがBを通るのはそれぞれ出発してから何秒後かを調べると、
P:5,15,25,35,45,…
Q:8,16,24,32,40,…
となり、2点がBで重なることはありません。
そこで、最初の20秒とその後の40秒周期とに分けて考えます。
40秒周期は、(300-20)÷40=7(回)あります。
また、1回目にPとQが重なるのは、
100÷(20+25)=20/9(秒後)
で、2回目以降は、
100×2÷(20+25)=40/9(秒毎)
に重なります。
【問(1)】
最初の20秒で(AまたはB以外で)2点が重なる回数は、
(20-20/9)÷40/9=4(回)
1周期40秒で(AまたはB以外で)2点が重なる回数は、
40÷40/9-1=8(回)
よって、300秒間で(AまたはB以外で)2点が重なる回数は、
4+8×7=60(回)
【問(2)】
4+8×2=20 だから、2点が20回目に重なるのは、2周期目の最後。
つまり、(20+40×2)-40/9=95&5/9(秒後)