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投稿者: ファミマ (ID:ugtGo1701sw) 投稿日時：2010年 10月 07日 19:42
１００ｃｍ離れたＡＢ間を点ＰはＡからＢへ、点ＱはＢからＡへ同時に出発した。
２点は休まず何度も往復し続け、点Ｐと点Ｑの速さはそれぞれ２０ｃｍ／秒、２５
ｃｍ／秒とする。
（１）５分間に２点は何回重なるか（ただし、ＡまたはＢで重なるときは除く）
（２）２０回目に重なるのは何秒後か（ただし、ＡまたはＢで重なるときは除く）
解答は（１）が６８回、（２）が８６と３分の２秒となっています。
この解答はＡとＢの重なりを除いていないと思うのですが、いかがなものでしょうか？
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【1875794】 投稿者: かぼちゃ (ID:.Txv..4ahTE) 投稿日時：2010年 10月 07日 23:20
ファミマさんがいうように解答が間違っています。「ＡまたはＢで重なるときは除く」と条件をつけているのに，解答はこの条件を無視しています。
Ｐは20cm/sなので100cm片道に5秒かかります。
Ｑは25cm/sなので100cm片道に4秒かかります。
(秒) 0 5 10 15 20 25 30 35 40
Ｐは Ａ→ Ｂ← Ａ→ Ｂ← Ａ→ Ｂ← Ａ→ Ｂ← Ａ
(秒) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
Ｑは Ｂ← Ａ→ Ｂ←Ａ→ Ｂ←Ａ→ Ｂ← Ａ→ Ｂ← Ａ→Ｂ
お互いこんな感じに動き，40秒周期で同じことを繰り返します。
Ｑの矢印の各区間に注目し，一区間でＰと矢印の向きが反対になる時間帯があれば重なります。
１０の区間のうち重ならないのは16～20秒の区間と20～24秒の2区間だけです。
よって，40秒間に8回重なることになります。
(1)を解きます。
5分間=300秒なので
300÷40=7あまり20
20秒間に重なるのは4回ですから
８×７+４=６０ ６０回が正答です。
多分，問題作成者は，20秒でのＡでの重なりも除かなかったのでしょう。その場合の答えは，９×７＋５＝６８となります。
(2)はこの誤った考え方で解いてみます。
40秒で9回重なるのだから
２０÷９＝２あまり２
よって８０秒経過後２回目に重なる場合を考えます。
これはＱが４秒後にＡで折り返し５秒後にはＡから25cm離れた位置に来ます。Ｐは５秒後にＢで折り返します。よってこの後最初ＰＱが重なるのは，お互いの距離１００－２５＝７５ｃｍをお互いの速度の和20cm/s＋25cm/sで割った時です。
７５÷（２０＋２５）＝１と３分の２
よってそれまでにかかる時間は８０＋５＋（１と３分の２）＝８６と３分の２
だから，ファミマさんがいうように「ＡまたはＢで重なるときは除く」という条件が解答では無視されていることが分かります。 -
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【1877684】 投稿者: 天の移動 (ID:NCqy0EJJHtA) 投稿日時：2010年 10月 09日 16:25
かぼちゃさんと同じですが、私も解いてみました。
Ｐは片道5秒（往復10秒）、Ｑは片道4秒（往復8秒）掛かります。
先ず、ＰとＱがＡを通るのはそれぞれ出発してから何秒後かを調べると、
Ｐ：10，20，30，40，50，60，…
Ｑ：4，12，20，28，36，44，52，60，…
となり、2点は20秒後に最初にＡで重なり、その後40秒毎にＡで重なります。
（40は10と8の最小公倍数）
次に、ＰとＱがＢを通るのはそれぞれ出発してから何秒後かを調べると、
Ｐ：5，15，25，35，45，…
Ｑ：8，16，24，32，40，…
となり、2点がＢで重なることはありません。
そこで、最初の20秒とその後の40秒周期とに分けて考えます。
40秒周期は、(300－20)÷40＝7（回）あります。
また、1回目にＰとＱが重なるのは、
100÷(20＋25)＝20/9（秒後）
で、2回目以降は、
100×2÷(20＋25)＝40/9（秒毎）
に重なります。
【問(１)】
最初の20秒で（ＡまたはＢ以外で）2点が重なる回数は、
(20－20/9)÷40/9＝4（回）
1周期40秒で（ＡまたはＢ以外で）2点が重なる回数は、
40÷40/9－1＝8（回）
よって、300秒間で（ＡまたはＢ以外で）2点が重なる回数は、
4＋8×7＝60（回）
【問(２)】
4＋8×2＝20 だから、2点が20回目に重なるのは、2周期目の最後。
つまり、(20＋40×2)－40/9＝95&5/9（秒後）