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約数が奇数個なのは平方数だけなので1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144だけだと思います。

神戸様

早速のお返事ありがとうございました。
どうして約数が奇数個だと平方数なのでしょうか？
物分かりが悪く申し訳ありませんが、もう少し教えていただけると
助かります。

約数はすべてカップルなのですが、四角数だけはこのカップルが同一人物になるから…と子どもには教えてます（笑）

たとえば
20の約数は
20、10、5、4、2、1　ですが
1×20＝20
2×10＝20
4×5＝20
の３カップルになります。

ところが36のような四角数の場合
1×36＝36
2×18＝36
3×12＝36
4×9＝36
6×6＝36
となり

「6」が同一人物になります。
この場合が偶数個パターンを崩すケースだからではないでしょうか。

ちゃんとした理由が他にあるかもしれませんが我が家はこれです。

中学受験ならこれでじゅうぶんではないでしょうか

こういう問題はきちんと理解するのは小学生の範囲を逸脱していると個人的には思っています。
が、残念ながら中学入試で出るのも事実です。



まず、受験生の多くは次のことを暗記している子が多いのではないでしょうか。
例えば100という整数の約数を考えます。
素因数分解しますと
100=2×2×5×5
となります。
すなわち2^2×5^2（2^2は2の二乗という意味です）
このとき約数の個数は
（2+1）×（2+1）で9個となります。（2は二乗の二です。）
何故そうなるのかは後で説明します。



約数の個数が奇数になるためには（）内が共に奇数でないといけません。
すなわち
（奇数）×（奇数）
ということは累乗部分（この場合は2）は奇数-1で偶数でないといけません。
すなわち約数の個数が奇数であるということは
素因数分解したときに
素数の偶数の累乗でないといけないということです。
これは必ず平方数であることを意味しています。
逆に平方数であれば約数の個数は必ず奇数になります。



さて元に戻ります。
ある数が
素数X^a×素数Y^bとします。
例を使った方がわかりやすいので例を使います
整数を72=2^3×3^2とします。
この整数の約数は
2^0×3^0（すなわち1）
2^1×3^0（すなわち2）
2^2×3^0（すなわち4）
2^3×3^0（すなわち8）
2^0×3^1（すなわち3）
2^1×3^1（すなわち6）
2^2×3^1（すなわち12）
2^3×3^1（すなわち24）
2^0×3^2（すなわち9）
2^1×3^2（すなわち18）
2^2×3^2（すなわち36）
2^3×3^2（すなわち72）
の12個になります。
素数X^a×素数Y^bに戻りますと、
0乗を加えた、(a+1)(b+1)の組み合わせの個数になっていることがわかると思います。


説明が下手で申しわけございません。
もっと上手に説明できる方がいらっしゃいましたらお願いします。

約数の個数については、通常は書き出して数えるか、素因数分解をして類推します。
しかし、応用問題になるとそれだけでは時間内に解ききれなくなるため、次のような知識が必要になります。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

覚えておくべき約数の個数
１個…１だけ
２個…ａ　(つまり素数です)
３個…ａ×ａ
４個…ａ×ｂ　または　ａ×ａ×ａ
　　※ａ，ｂは素数

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約数の個数を求める式
　(素因数分解したときの同じ素数の数＋１)×(同じ素数の数＋１)×……

　例)２４の約数の個数
　　　２４＝２×２×２×３
　　　　　　２が３個，３が１個
　　　　　　(３個＋１)×(１個＋１)＝８個

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上が中堅以上なら最低限覚えておくべきこと、下が本来の考え方(公式)です。
上位の生徒なら下の公式まで通常知っています。



今回の問題は上を元にすれば、この延長で５個になる状況を考えます。
少し考えれば　ａ×ａ×ａ×ａ　しかないことが分かり、これは結局　ａ×ａ　の平方数です。

同様に７個は　ａ×ａ×ａ×ａ×ａ×ａ　のみで、これも平方数です。
(同様に９個は　ａ×ａ×ａ×ａ×ａ×ａ×ａ×ａ，ａ×ａ×ｂ×ｂ　これも平方数)
このあたりで、平方数だけが答えだと気づきます。



下の公式を知っていれば、項の両方が奇数でない限り積は奇数になりませんから
　ａ×ａ，ａ×ａ×ａ×ａ，ａ×ａ×ａ×ａ×ａ×ａ　(※この先は範囲外)
　ａ×ａ×ｂ×ｂ　　　（※ａ×ａ×ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ×ｂより先は範囲外）
この３パターンしかないことが分かり、これも平方数です。

こちらはちょっと複雑ですが、下の公式の意味が理解できる子であれば、これくらいは処理できます。(書いて示すと複雑に見えますが、頭で考える分にはそれほど難しくはありません)


一度経験してしまえば、次からはスッと解ける問題ですね。

田舎者さん、お見事です。その説明の方が分かりやすいですね。

２４→　１　　２　　３　４
　　　　２４　１２　８　６

３６→　１　　２　　３　　４　６
　　　　３６　１８　１２　９

ペア(カップル)で書き出したときに、３６の６のようにペアがいないときは、必ず同じ数をかけているとき(平方数)ということですね。

勉強になりました。

「それほどでもぉ～(#^.^#)」←クレヨンしんちゃん風