平均とその利用｜掲示板スレッド

先生に一票 殿

よく分かっておられる御仁に　コメントなど野暮な真似なので　お返事だけ。

先生に一票殿　のような考え方は　自然な考え方で　まったく正しいものと思う。

ただ　この問題に関連する話題の　３つのスレッド　では
単位の視点からの説明　（これは　まったく正しい）　を出すと　
じゃあ単位の問題なのか　単位を併記すれば順序は自由か　云々の議論が
繰り返されて　いるようだ。

単位を考えずに説明する　方法は　
掛ける数　掛けられる数　の区別　だが

（それは　実際の算数の授業でも　言及されている。日本に限らず。）

なかなか　分からん方が　多いようだ。

　学校の先生、塾の先生、どちらも間違いです。算数的に、数学的に大間違いです。いろいろ事情はあるだろうけど、算数として数学として、本来は何が正しいかを押さえずして、変な方向にはまり込んでしまっています。

　小学校低学年で、九九を覚え、1桁の掛け算を元に、多数の桁の掛け算を使いこなせるようになります。
　4年生では、はっきり「足し算と掛け算の順序は自由に入れ替えて正しい答えがでる」と、式の書き方が自由であることを明確に教えます。
　教えた以上、使いこなせるように指導します。指導しなければ、怠慢です。

　問題文を見ると、5年生でしょうか。平均値を含めた出題で、平均値というものの使い方をマスターさせる狙いのようですね。

　お子さんはしっかりそこをクリアされてます。この点は大丈夫です。お示しように掛け算を使うことが、すっぱりと最短距離で問題を解く方法ですから、その点も気が付いておられます。ですから、平均値の設問ということは気にされなくて大丈夫です。
　そして、掛け算の順序が自由ということを知って使っているのでしょうね。これも、正しい理解です。
　つまり、お子さんの解答には何も問題が無い、非の打ち所がない完璧なものです。

>２年生で習う「求める数＝かける数×かけられる数」
>求める数が冊数なので、かける数も冊数でなければ、答えが出ない。

　1行目はそう教えている、で許してもいいでしょう。むしろ、掛け算とは何か、どういう風に計算したらいいか、苦心惨憺して教えてくれたのでしょうから、感謝すべき所かもしれません。
　でも、2行目は大嘘です。論より証拠、ばかばかしいようで恐れ入りますが、電卓で16×11＝や11×16＝と操作してみてください。176としか出ません。176という一つの数字に、何か種類がたくさんあったりするでしょうか。もちろん、そんなことはありません。
　お金に直せば、176円ぴったり揃えるのに、硬貨の組み合わせは幾通りもあれど、結果は176円です。それを預金すれば、経過はどうあれ、口座には176円増えます。
　そういうことです、掛け算の順序とは。そういう、掛け算に慣れてしまえば、無用の長物、むしろ、あって邪魔になるものです。

　学校の先生の物言いからすると、おそらく俗に「サンドイッチ方式」と呼ばれるものを指しています。
　これは「□冊×△＝○冊」という具合に、最初に書く数と答えに書く数を同じ助数詞（単位と言い換えても可）で揃えるという、掛け算に入りやすくするために考案された方法です。こういう順序付けは、あくまでも、嘘も方便の便宜的なものです。

>学校の先生が、かける数にしなければならないとしている冊数は、
>平均の冊数（分数）なので、この公式にはあてはまらない。

　これも間違いです。平均だろうとなんだろうと、分数、つまり単位を持ち出すなら「冊/人」です。だから、人数と書けたら「人」が掛け算的に消えて、「冊」が残るのです。平均と関係ありませんし、公式云々も関係ありません。「16人いて、各々が11冊持っている」と同じですから。

　いつのまにか、単なる便宜的な嘘も方便が、主客転倒して、「掛け算順序固定こそ正義」みたいなことが広がり始まってしまっているのが、現状です。

　新聞（ネットでみたものです）では、小学3先生のあるクラスで、教師が「3匹の兎さんがいます、兎さんは長い耳が2本ありますね。全部で耳は何本でしょう？」と聞き、「3×2で6本」と答える児童がいると、しめしめと嬉しそうな顔になり（ここに物凄く嫌悪感を覚えます）、おどろおどろしい怖い顔の3本耳の兎2匹の絵を見せて児童を怖がらせ、「そういう掛け算すると、こんなことになっちゃうよ～」と脅して、2×3が正しいと指導する様子が紹介されていました。それも好意的に。

　呆れてしまいます。6「本」って言ってるじゃないかと。誰が、6に耳以外を想像したというのでしょうか。あるいは、掛け算の順序次第で、兎をそのように変えてしまえるというのでしょうか。最初は善意であり行儀良かった嘘も方便の掛け算順序が、いつの間にか偉そうな顔つきで「我こそが真理」などと、無間地獄に落ちそうなことを言っている状況なわけです。

　とは申せ、少なくとも学校の先生との落とし所は見つける必要はありますね。お子さんが学校で伸び伸びと学べるようにしておく必要はあります。

　まずはお子さんに、先生は不正解だと言おうが、もし塾の先生が同じことを繰り返そうが、お示しの設問に対する回答は完璧に正しいということは納得してもらいましょう。必ず、空元気でもいいので、表情と声を姿勢全てに自信たっぷりにで「これで正しい」と保証してあげましょう。そして「よく勉強できている。平均ということもよく分かっている。偉いよ」と褒めましょう。

　16×11＝11×16＝16×11冊＝11冊×16＝16人×11冊＝16人×11冊/人＝11冊/人×16人

　であって、上記のどれからも「＝176冊」です。最も右の二つの式は助数詞をきっちりと単位のように扱ってみたものです。どれでも正しいのですが（数学的にも物理学的にも！）、お子さんが納得しやすいものでいいでしょう。

　そうしておいて、まずはお子さんを、一応は説得してみましょうか。ただし、お子さんの解答が式を含めて全て正しいと言うことは譲りません。もちろん、お子さんの書いた式を逆順にしても正しい。そこは押さえたいところです。

　そして納得しない様子なら無理押しはいけませんが。

　たとえば、以下のように言ってみてもいいかなと思います。

「それで正しいけど、先生もずっと掛け算の順序を決めて教えてきたので、順序が逆だと採点で分かりにくいみたい。順序ってね、これだと答が176冊でしょう。本は冊で数えるから。でね、答が本で冊で数えるときは、掛け算の最初の数を本の冊の数にして欲しいらしいよ。先生がそのほうがやりやすいみたいだから、今度から、そうしてあげようね。そのほうが親切だから」

　どちらでも正しいけど、親切にしてあげるほうを選ぶという説得です。納得しないようなら、子どもの好きなようにさせて、できるだけ守ってあげるようにしましょう。

　学校の先生については、話の落とし所次第です。
　もうお分かりと思うんですが、算数として数学として正しいかどうかとは、別問題になってしまっていることですので。
　できれば、同じように困っていらっしゃる保護者の方がおられれば、できるだけたくさんで、まず上記のように、算数、数学としては正しいけど、今回のようなケースで保護者としてはどうするか相談されるといいでしょう。
　角の立たない落とし所は、「もう5年生だし、掛け算の交換法則を習っているから、その順序で不正解にしないで欲しい」、これで教師が引き下がりそうにないなら、「一応正解として、朱書きで順序はこうしてくれとの添え書きに留めて欲しい」くらいですかね。
　私としては譲りたくはないけど、「先生が不正解としても、家庭ではそれで正解と教えるから、それは了解して欲しい」でしょうか。

　まあ、私が教師を話すのであれば、電卓、兎のおもちゃ3個、碁石6個、ノートと鉛筆を持って、以下のように話すでしょう。

「電卓で、3×2も2×3も6だ。掛け算の順序でこの6に何か違いがあるのか説明しろ！」

と駄々をこねまくります。それで引き下がらないなら次の手に移ります。

「兎が3匹（羽）いて、兎は2本耳。これを、3×2＝6本と書いて、どこが間違いか？」

　もし、できないというなら電卓以下かと罵倒し、もし、それなら6匹（羽）と言うなり、兎が3本耳と言うなりしたら、兎のおもちゃ3個を取り出し、ノートを広げ、鉛筆を突き付けて、

「それなら、このノートに、いくらでも3×2＝6と書いてもいいから、この兎をそう変えて見せろ！」

と迫ります。それでも引き下がらないなら、碁石を2行3列の長方形に並べ、

●●●
●●●

「これは、どういう掛け算で計算するんだ？」

と聞き、2×3でも、3×2でもいいので、どちらか書いたら（書かないなら九九も知らないと罵倒）、たとえば2×3なら、

「それは、2個×3個だな、じゃあ6個じゃなくて6個個か！」

と迫り、「いや2個×3だ」と答えれば、3はなぜ個がつかないと迫り、「3つだから」と答えるなら、「じゃあ、6個つ、なんて変な碁石になるのか？」と問い詰め、「面積的なものだから」と言おうものなら、「面積は長さの2乗だが、この1個の碁石は長さなのか、この碁石に面積はないのか？」と問い詰め、「個は助数詞で単位じゃないから」と答えるなら、元の問題に戻り、「人とか冊は助数詞だろう。それに単位がないなら、どうして掛け算に順序があるんだ？」と追い回して、果てなく続けるでしょうね。

　まあ、どうせ認めないと思いますから（こういうのは似非科学と同じです）、

「お前が、この11×16＝176冊を正解と認めない以上、そんな人間を教職に置いておくわけにはいかん。クビにするまで追いつめるから、そのつもりでいろ！この学校で掛け算順序に拘る奴は全員だ！」

と、勝手な宣言をして帰ります。帰ったら、お茶飲んでタバコ吹かして、それできれいさっぱり忘れてしまうと思いますが(^^;。相手も、生活がありますからね。無暗なことはできません。

面白い！
英語だと?どう教えるんでしょうね。速さ長さ重さなどの単位はありますけど、〜個という言い方はないですよね。

うちの三年生は小数の筆算の計算で、小数点以下のゼロを書かなかったらバツにされました(5.5-2.5=3のように)。3.0にしてゼロに/が正しいとのこと。でも5.5-2.5は3ではないのか…と思うのですが。便乗すみません！

3がバツにされるのはおかしいですね。
小数第一位まで書きなさいと、問題文に書かれていないかぎり正解だと思いますよ。
算数、数学では3も3.0も3.0000も同じです。

でも理科ですとバツもあり得るかなと思います。
有効桁数の考えがありますから、3と3.0では意味が違いますからね。
でもそれも習っていればという条件ですね。


3で正解でしょう。

算数で、様

ありがとうございました。5.5から2.5を引いたら3にならないの?と三年生の我が子に聞かれ、私も上の息子も、なるんだけどね、先生は小数点以下も計算したっていう書き方をして欲しかったんじゃないのとなんだか奥歯にモノが挟まったような説明をしてしまいました。
学校で○欲しかったら先生の納得いく答えを書くしかないよと教えるのも…なんだか腑に落ちませんし。
上の子のときは分数計算で約数を習う前は答えを約分するとバツだったので、4分の2、9分の3などのままにしておかねばならず子どもも私も気持ち悪いねと言っていました。
本人が理解していれば良いと考えるようにしていますが、学校の算数、スッキリしません…。

　算数であれば、理科のように有効数字というものはありませんから、小数点以下があったとしても、最後が0なら、その0は取り去る。もしまだ、小数点末尾が0なら、また取り去る。
　そうして、0以外の小数点に行きつくまでか、小数点以下がなくなるまで0を取り去る。それが算数（数学）の暗黙のルールですらあります。

　確かに、3＝3.000……（いくつ0を書いても良い）で数学的に全く文句の付けようもなく正しいとは言え、不要なものは書かないのが、まあマナーと言い換えましょうか、そういうものです。でないと、本当に0しか出てこないか、ちゃんと小数点以下を読まないといけません。

　これが理科になって有効数字をちゃんと使うのは、なかなか大変ですね。足し算引き算のときと、掛け算割り算のときでやり方が違いますから。
　これは、ゆくゆくは誤差の定量的な扱いや、コンピュータでの数値演算で問題を起こさないように計算順序を考慮する（切り捨てられた数が実は膨大で、きちんと足すと意味を持つとか）、といったことにもつながってきます。

　式の順序というより式の読み方や数の読み方、そういった数式と、それを読む自然言語の関わりは難しいものがあります。
　3に2を掛ける、と、3と2を掛ける、は1字違いでも印象は違いますし。
　英語では、3×2を、3 times 2（3回の2）とも読めば、3 multiplied by 2（3に2が掛けられたもの）ですし。なお後者は、直訳的には2が掛けられた3ですが、英語は英語の言葉順で理解しますので、2×3にはなりません。

>学校で○欲しかったら先生の納得いく答えを書くしかないよと教えるのも…

　大人として、子どもにどう説明するか、非常に苦しい所です。
　子どもはペケされて不安だし傷ついている。しかし子どもが、先生は嘘を教えるものだと思ってしまうと、大半の正しい部分も聞かなくなってしまう。

　こういう状況を何とかするのが筋ですけど、すぐには間に合いません。当面の方策を考えるのも必要かもしれません。

「算数としては、それで正しいよ」

と力強く言ってあげて、

「でも、先生は教えた通りに答えを書いてくれるかどうか、気にしてるみたい」

と嘘も方便かもしれませんが、ここは大人がこらえて続けて、

「先生には、そのことが分かりやすいように書いてあげてもいいかもしれないね」

と、先生に親切にするという良いことを子どもに勧めてみるくらいしか考え付きません。本当にどうしたものか、悩ましい所です。

K.K様

ありがとうございました。専攻が数学は関係ないもので必修だった1クラスだけしかとりませんでしたが(しかも小学校レベルの算数でびっくりしました…)大学と修士をとるまで海外でしたので、だいぶくたびれてきた英語力でも時々、これ、英語だとこうだなあと考えたりします。


下の子は今はまだ塾も行っておらず、なんでバツなの〜くらいで家庭で確認がとれれば納得という感じです。上の子は学校のテストと塾のテストは違うと理解した上で、先日、学校のテストでバツになった問題について先生に聞いてみようかと迷っていました。その問題は平行四辺形の面積と底辺と高さの関係を問うもので(勿論、塾での問題とはかなり開きがある、本当に簡単なものです)、底辺3cmの平行四辺形の高さが1、2、3、4、5cmの時、それぞれの面積が何平方cmになるかを表に記入させたあとに、上の平行四辺形の高さを□、面積を○として面積を求める式を書きなさいというところ、息子は□×3=○と書きバツでした。勿論、息子は公式とおりに底辺×高さ、3×□=○とすれば正解だったのだろうとわかっていますが、公式は?と聞いたんじゃなくて、上の(表の)平行四辺形の高さと面積の関係を聞いたんだから、高さ□に3をかけたら面積○が出るじゃない、どっちからかけても面積が出るし、答えの単位も変わらないから不正解でもないような気がするな‥とスッキリしないようでした。学校の先生に聞いても習った公式通りじゃないから、解答の式と違うからって言われるだろうから聞いても無駄かな、と。期待された答えがわかっているのと、失点した5点が欲しいからゴネてる、とか、塾行ってる子はこれだから‥と思われるのも煩わしいようです。でも本当に間違いなのか、間違いなら絶対に間違いだって証明があるのかなあと考えていました。
考えてみるのもいいことかなと本人に任せてみました。
正しくはない、のでしょうか?

AFさん：

　どうか、「様」はご容赦ください。私ごときはそのような敬称がふさわしい者ではなく、また、気楽に呼びかけて頂く方が私も気楽でして。
　まあ、ここでは行われないような議論でしたなんですけれど、ここでの雑談の感じでのやり取りは、とても良いものかとも存じます。

>息子は□×3=○と書きバツでした。

　素晴らしい息子さんです。

　偶然そうしても、私は文句なくマル以外にはないと思いますし、底辺と高さが式ごとに違っても、やはり文句なくマルです。
　公式を覚えていて、公式通りにやったということなら、やはりマルです。

　息子さんの解答は、二重マルがふさわしいと思います。
　伝票、見積書、請求書等々の多くの実用例では、たとえば1項目が「品名・数量・単価・小計」と並んでいます。これが縦に幾つも並んだりするわけですね。

　こうなっているのは見やすさのためです。まず品名は、何を買ったかなので一番大事、それに次いで、それが幾つという数量です。

　何を何個買うか、というのは大事なことの1・2位です。さらにこの二つは切っても切り離せない関係です。「ともかく適当にあればいいよ、何個でも」、と大雑把なことは現実には少ない物です。

　もちろん、使える金額が決まっていて、それを超えないように買う物を決めることはよくあります。しかし、その場合でも、欲しい物と、各々の個数を考え、それで予算オーバーなら、どれを削るか、代替となる安い物は無いか、等々を考えるのが普通ですね。

　すると、小計という1項目の合計金額は重要だから、単価より先に3番目に書くのか。書かないのです。3番目に大事でも、左から3番目に置くより、思い切って一番右端に置いた方が、一目で見やすく分かりやすいのです。

　息子さんは、そういった伝票の類を見て、それが見やすいと理解されたか、あるいは、息子さんご自身で相手に見やすい方法を工夫されたのです。そうはっきり説明できないかも知れませんが、覚えている公式通りより、そちらを選ばれてますし、お書きになられている説明からも、それが強くうかがえます。

　掛け算の式で、どんどん変わる大事な数は一番左、もちろん大事な答は一番右に、そして変わらなくて気にしなくていい数をその間に置いた、それは大人も経験的に見やすく間違いにくいと知っている、素晴らしいやり方です。

　ここはまず、力強く「算数として正しい」と力強く保証してあげ、「それが相手に見やすい方法で大人も使うんだ」と大いに褒めるところでしょう。

　そうして励まして力づけ、すかさず褒めて自信を持ってもらったら、とりあえずは、

「公式を覚えているかどうかをテストで確かめたかったみたい。先生は、こんなに工夫して答をかいたと気が付かなかったみたいだ。でも、お父さんもお母さんも、これで正しいし、公式通りよりいい答えだと分かってるよ」

と言ってあげるくらいでしょうか。

　こういったことを悩んでおられる保護者の方々は他におられるかもしれません。すぐにどうこうしようと一人で頑張って、かえって孤立無援になってはいけません。正しいからと言って、それだけで通るものではないことは、大人の事情として普通のことです。

　たとえばPTAという組織があります。その他の人脈もお持ちでしょう。そこで、まずは情報交換、意見交換と着実に進め、もし幸いにして、このような教え方、採点の仕方の異常さを理解する多くのつながりが出来たら、意見をまとめて要望として、連名で学校に強く申し立てをすると効果的ではないかと思います。

　現場の先生も、本当はそういう教え方や採点基準はおかしいと思っておられる方がいます。AFさんの学校にもいらっしゃるかもしれません。
　でも、文科省が検定する教科書にはそういうh条理は明記されていなくても、検定が不要の教師用の教科書指導書（通称：赤本）には、そういうおかしな教え方や採点基準が明記されています。主要6出版社のもの、全てでそうなっています。

　校長、教頭といった管理職レベルで、そのような不条理な基準を正しいとして、強要していることもあります。
　現場の先生も、一人ではどうしようもないという、困った現状です。

　多数の意志として、その周囲にも分かりやすい言葉と論理で、民主主義のルールに則って無理押しはせず、しかし根気強く主張して行くことが必要でしょう。

　幸いと言うべきか、昔のように大手メディアと通じてとか口コミのようなものだけでなく、今はネットに主張の場所はいくらでもあります。既に、多数の人が、この算数のことを始めとして、主張をしています。ツイッターでも、「#掛算」というタグで毎日熱心に話し合いが行われています。

　ネットで離れた場所でもつながることができる今、これまでのような、学校が子どもと保護者を囲い込むような密室性は無くなってきています。私も、及ばずながら、あちこちに出没して、「当たり前に正しいことは、当たり前に正しいとして、マルにしようよ」と微力を尽くしています。焦っても仕方がないですし、急にやっては無理もでる恐れがあります。確実に事態を改善して参りましょう。