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投稿者: こんこん (ID:SHHVoMV58BE) 投稿日時：2007年 04月 23日 09:31
息子に質問されました。 どなたか 上手く解説していただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
問題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 の数字を並び替えて最も大きい9桁の11の倍数をつくりなさい。
11の倍数＝5桁の数abcdeの場合、e−d+c−b+aがその数abacdeを11で割ったあまりになる。（０だとわりきれるということ。）
＊１１の倍数判定方：一つおきの数字を足して 大きい和から小さい和を引いたものが 11の倍数、または０になれば その整数は 11の倍数となる。
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【621528】 投稿者: 算数をしらない父 (ID:eq1lOvDbj0s) 投稿日時：2007年 04月 23日 13:44
こんこん さんへ:
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> 問題 1 2 3 4 5 6 7 8 9
> の数字を並び替えて最も大きい9桁の11の倍数をつくりなさい。
>
> ＊１１の倍数判定方：一つおきの数字を足して
> 大きい和から小さい和を引いたものが
> 11の倍数、または０になれば その整数は
> 11の倍数となる。
>
間違ってたらごめんなさいですが、
1 2 3 4 5 6 7 8 9の数字を並び替えてできる最も大きい9桁の整数は
987654321です。そこで１１の倍数判定をすると
９＋７＋５＋３＋１＝２５
８＋６＋４＋２＝２０
２５−２０＝５
Ａ組（９，７，５，３，１）と
Ｂ組（８，６，４，２）のそれぞれの和の差が１１の倍数になるように数字を入れ替えることを考える。ここで注意するポイントは
・できるだけ小さい数字を入れ替えること（987654321との差を小さくするため）
・Ａ組とＢ組それぞれの和の差は奇数であること。（つまり０にはならない。）
以上により、容易にＡ組の和を３増やし、Ｂ組の和を３減らせばよいことがわかる。その中で最も小さい数字の入れ替えは１と４であるから
Ａ組（９，７，５，４，３）
Ｂ組（８，６，２，１）となる。求める数字はＡ組とＢ組の数字を大きい順に交互にならべた
９８７６５２４１３
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【623673】 投稿者: ひま人 (ID:7OQ1bv5ZT9Q) 投稿日時：2007年 04月 26日 01:17
1+2+3+...+9=45
45を2つに分けて、その差Xが11の倍数になればよい。
Xが最大になる場合を考えると、(9+8+7+6+5)-(4+3+2+1)=25
よって、X≦25 （X=0or11or22)
奇数の45を2つに分けると、偶数と奇数に分かれることより、Xは奇数。
したがって、X=11
次に和差算を使って、
(45-11)÷2=17
17+11=28
よって、一つおきの数字のグループの和は17と28となる。
最大の11の倍数を見つければよいのだから、一番上の位を9、次の位を8とすると、98abcdefgと書ける。
よって、8+b+d+f=17、つまりb+d+f=9となる場合を探せばよい。
したがって、(b,d,f)=(6,2,1),(5,3,1),(4,3,2)
このうち、全体が最大となるのは、bが最大となる
(b,d,f)=(6,2,1), (a,c,e,g)=(7,5,4,3)の場合。
答え：987652413
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【623814】 投稿者: こんこん (ID:RUTfkBbkBAM) 投稿日時：2007年 04月 26日 10:32
算数を知らない父 様、 ひま人 様
早速教えていただき助かりました。
代数を使っているかどうかの 違いでお二人とも同じ考え方のようです。
解りやすくて助かりました。 これで子供に説明してみます。
ありがとうございました。