Ｎ５年　第１１回平面図形　学びのひろばのまとめ９の問題｜掲示板スレッド

図形って苦手 さんへ:
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確かに数学は厳密さを要求するので、直感に頼るのは良くないですね。本来、一つ一つ証明を積み重ねていくべきものだと思います。

仰っている問題については、私自身見ておりませんのでなんともいえないのですが、ひとつめのほうは、当てずっぽうで同じ長さとみなされたために題意に合わない結果になったようですね。

ふたつめの方は残念ながらどのような問題か、ちょっとわかりませんので失礼します。

仰るように、小学生レベルで証明困難な事柄については、あえて、厳密な証明は避けて、既知の事柄として問題作成されている場合もあるのかもしれませんね。半径と接線が垂直に交わる事などは、出題する前に教えておくべき事であろうかと思います。

ただ、私が直感的にと申したのは、円または球の中心から水平な地面（接線に相当）に垂らしたひもは地球の中心に向かう重力を受けて地面に対して垂直に垂れ下がり、接点を通るはずであるというような想像が働いて直感的に理解されるのではないかと愚考した次第です。

興味がありますので、どなたか、数学的に、もし可能なら小学生にもわかるように証明していただけるとありがたいのですが。

「接線と半径は垂直に交わる」ことについて。・・・こんなので，小学生でもわかるでしょうか？
接線と半径は垂直には交わらないとします。
そこで，半径と接線とが作る二つの角のうち，右側が大きくなると仮定します。
しかし，円と垂線を描いた紙を裏側からすかして見ると，左側が大きくなっています。
これは，半径と接線とが作る二つの角のうち，右側が大きくなるとした仮定と矛盾します。
したがって，半径と接線とが作る二つの角のうち，右側が大きくなるとした仮定は正しくありません。
半径と接線とが作る二つの角のうち，左側が大きくなると仮定したときも，同様に正しくありません。
これらにより，半径と接線とが作る二つの角は等しい。したがって，接線と半径は垂直に交わります。

これでどうでしょうか さんへ:
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有難うございます。背理法による証明ですね。

裏返すところがミソですね。

ちょっと調べたところ、背理法で証明するのがやはり王道のようですが、中学レベルでも、背理法は避けて、円の鏡映対象性から直感的に理解させるという指導も行われているようでした。

でも、仰るやり方だと、小学生でもわかりやすそうで感心いたしました。

これでどうでしょうか様
納得です。
図形が苦手な私でも分かりました！！


想像様
一緒に考えていただき、ありがとうございます。
＞小学生レベルで証明困難な事柄については、あえて、厳密な証明は避けて、既知の事柄と
＞して問題作成されている場合もあるのかもしれませんね。
そうなのかも･･･と、最近思うようになりました。
基本事項として、既に解説済みなのか（5年から入塾したので4年で学習済みなのかも）
悩むまでもない常識的な事柄なのか
子供（そして私）の理解力がはなはだ低いのかとも思いましたが、
あまり厳密に考えずに、感覚で解く問題もありそうですね。
その線引きをどうすればいいのかは、分かりませんが･･･。

図形って苦手さんへ

＞円４つと直線からできている図の周りの長さの問題です。
＞「接線と半径が垂直に交わる」ということを知らなければ
＞この問題は解けないと思うのですが
＞どのようにして、子供に教えていますか？

　はい、確かにその知識がなければ、
　ご指摘の問題および、同じタイプの問題や「回転移動」の問題は
　きちんと作図することが出来ず、
　完全に理解することはもちろん、きちんと解くことも出来ません。

　私は、問題を解く前か、初めて引っかかったときに「当然知っておくべき知識」として、必ず教えます。
　それ以外に、きちんと解く方法はありません。

　ちなみに、証明的な説明はせず、
水平な地面の上を車輪が動く状態をイメージし、自然現象として納得させる、にとどめています。
　（車輪の軸に、おもりを付けた「ひも」をつり下げ、その「ひも」と地面が垂直になることを、イメージします）