約数がすぐに出てきません。｜掲示板スレッド

緑 さんへ:
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１４が出てこないというのと、１３が出てこないと言うのは少し違う
観点から考える必要があると思います。
　
前者ですと、２×７という約数同士の掛け算の積も約数だという約束が
理解していない可能性があります。
　
後者の場合は、素数を理解していない可能性があります。
１３の素数での割り算は、いろいろな学校の入試問題で出てきますので
５０未満の２桁の素数くらいは覚えておいても良いかもしれません。
　
特に１１，１３，１７，１９の２０未満の素数については、要注意だと
思います。

※式部分をテキストでかきづらく重複してしまいました。すみません。


素因数分解の方式でいいのでは？


たとえば、52なら、まずは2で割る。（26）
再度2で割る。（13）


という練習を繰り返していくしかないと思います。



スピードを重視するのであれば、考えるよりも手を動かす方が早いです。
一の位が偶数なら、確実に2で割れるわけですし、5の倍数の場合も確実にわかりますよね。
ということは、残りは1、3、7、9の場合だけです。
この場合、3でまず割ってみるという方法で、だめなら7で試す。とかを地道に繰り返すうちに、勘が養われていくのです。


　2｜52
　　￣￣￣￣￣
　2|26
　　￣￣￣￣￣
　　13
　　
という書き方をした事ありますよね。これを教えてあげるといいのでは？

一人目終了の保護者 さんへ:
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> 　
> 後者の場合は、素数を理解していない可能性があります。
> １３の素数での割り算は、いろいろな学校の入試問題で出てきますので
> ５０未満の２桁の素数くらいは覚えておいても良いかもしれません。
> 　
> 特に１１，１３，１７，１９の２０未満の素数については、要注意だと
> 思います。
>

アドバイスありがとうございます。
おっしゃってることはつまり、例えば１３なら、２６、３９、５２・・と言う数を
覚えておいた方がいい、ということですか？
１７なら３４、５１・・・でしょうか？
私はそろばんで段を持ってるのでこの手の計算は特に苦労もありませんでしたので、
どのように子どもに教えたらいいのかわかりません。


＞最初はさん


ありがとうございます。
やはり頭の中で考え出すのではなく手を動かすのですね。
今私が試しにしてみたのですが本当にきちんと答えが出ました！！
（頭の中でそろばんが動くのでそういう方法がある事を知りませんでした）
邪魔くさがりの息子で嫌がると思いますが、きちんとさせたいと思います。

緑 さんへ:
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> おっしゃってることはつまり、例えば１３なら、２６、３９、５２・・と言う数を
> 覚えておいた方がいい、ということですか？
　
素数の倍数までは覚えるのではなく、素数自体を知っておく必要は
あると思います。
入試問題って結構意地悪な所があって、もう割り切れないと思った
数がかなり大きな素数で割り切れたりするように作ってあったり
するからなのです。
　
素数で割ってみると言う事だけ知っていれば、試しに１３で割って
みるという頭が働くのではと、思います。

偶数は２の倍数，すべての桁の数字の和が３の倍数は３の倍数
一の桁が０か５なら５の倍数，７で割って割り切れたら７の倍数
奇数桁の数字の和と偶数桁の数字の和の差が１１の倍数は１１の倍数
１３で割って割り切れたら１３の倍数
１７で割って割り切れたら１７の倍数
１９で割って割り切れたら１９の倍数
・・・・・・・素数が約数になっているかどうかを探すことになります。
約数があるとすると，小さい約数から，割れるかどうかで約数を見つけてゆく。
この手順で約数を探すときは，約数の候補＝素数の２乗までの数には約数はありません。
また，５以上の素数は，あるとすれば，６の倍数のとなりにしかありえません。
６×１±１＝５，７
６×２±１＝１１，１３
６×３±１＝１７，１９
６×４±１＝２３・・・２５は５の倍数でダメ
６×５±１＝２９，３１
６×６±１＝３７・・・３５は５の倍数でダメ
６×７±１＝４１，４３
６×８±１＝４７・・・４９は７の倍数でダメ
６×９±１＝５３・・・５５は５の倍数でダメ
６×１０±１＝５９，６１
６×１１±１＝６７・・・６５は５の倍数でダメ
６×１２±１＝７１，７３
６×１３±１＝７９・・・７７は７の倍数でダメ
６×１４±１＝８３・・・８５は５の倍数でダメ
６×１５±１＝８９・・・９１は７の倍数でダメ
６×１６±１＝９７・・・９５は５の倍数でダメ
６×１７±１＝１０１，１０３
素数＝２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，
４７，５３，５９，６１，６７，７１，７３，７９，８３，８９，９７，１０１，１０３，・・・
１００００以下の数が約数をもつならば，その約数は９７以下の上記の素数です。
来年は２００９年ですが，４３×４３＝１８４９，４７×４７＝２２０９ですから，
２００９に約数があるとすると，４３以下の素数です。
４３はダメ，４１は２００９÷４１＝４９・・・成功で，２００９＝７×７×４１です。
２００９＝７×７×４１に絡んだ出題があるかもしれません。また，
５以上の素数は，６の倍数のとなりにしかありえないことを覚えておくと便利です。

-６の倍数のとなり-様、感動致しました！！


私自身、中学受験も致しましたし、理系の頭なのですが、知りませんでした！（え？常識？）


成績は良かったのですが、大きな数の素数や約数は苦手でした。目から鱗です。


勉強になりました。ありがとうございました。

補足します。整数はその整数を６で割った余り，すなわち余りが０〜５で分類することができます。
ｋを整数として，６ｋ，６ｋ＋１，６ｋ＋２，６ｋ＋３，６ｋ＋４，６ｋ＋５です。
６ｋ＝２×３×ｋは２の倍数かつ３の倍数ですから素数ではありません。
６ｋ＋１は２の倍数でも３の倍数でもないので素数である可能性があります。
６ｋ＋２＝２×(３ｋ＋１)は２の倍数ですから素数ではありません。
６ｋ＋３＝３×(２ｋ＋１)は３の倍数ですから素数ではありません。
６ｋ＋４＝２×(３ｋ＋２)は２の倍数ですから素数ではありません。
６ｋ＋５（６ｋ−１とも書ける）は２の倍数でも３の倍数でもないので素数である可能性があります。
この分類により，６ｋ−１，６ｋ＋１で表される整数に制限して，２の倍数と３の倍数を取り除きます。
１００以下の素数を考えます。数字の１００に本質的な意味はありませんが，想定される出題の範囲です。
√１００＝１０であり，４，６，８，９，１０は２の倍数か３の倍数ですから，１００以下の整数の範囲で，
６ｋ−１，６ｋ＋１で表される整数で素数ではない数は，５の倍数か７の倍数に限られます。
６ｋ−１，６ｋ＋１(ｋ＝１〜１６)から５と７の倍数を取り除けば１００以下の素数がすべて求められます。
取り除くときに間違えそうなのは，９１(＝７×１３)だけで，１００以下の素数を求める計算は簡単です。
これにより，１００以下の素数が，２，３，５，７，１１，１３，・・・・，９７と求まります。
一般に，正整数Ｎに約数があるとすれば，正整数Ｐ，Ｑがあって，Ｎ＝Ｐ×Ｑと書けます。
Ｐ≦Ｑとすれば，Ｐ≦√Ｎですから，次のことが言えます。
整数Ｎに約数が存在するとすれば，√Ｎ以下の素数の中の一つＰで，Ｑ＝Ｎ/Ｐ(≧√Ｎ)と対になります。
整数Ｎに√Ｎ以下の素数の中から約数が見つからなければ，その整数Ｎは素数です。
したがって，１００００以下の整数なら１００以下の素数の中から約数を探せば十分です。
来年の入試の狙い目：２００９，８９９，３５９９，２２１，３２３，１７６３，２４３１，３５５３
２００９＝７×７×４１は来年の西暦ですから，かならずどこかで出題されるでしょう。
８９９＝２９×３１＝(３０−１)×(３０＋１)＝３０×３０−１・・・・下二桁が９９は数十の２乗−１
３５９９＝５９×６１＝(６０−１)×(６０＋１)＝６０×６０−１・・・下二桁が９９は数十の２乗−１
２２１＝１３×１７＝(１５−２)×(１５＋２)＝１５×１５−４＝２２５−４
３２３＝１７×１９＝(１８−１)×(１８＋１)＝１８×１８−１＝３２４−１
１７６３＝４１×４３＝(４２−１)×(４２＋１)＝４２×４２−１＝１７６４−１
２４３１＝１１×２２１＝１１×１３×１７・・４桁で１１の倍数は奇数桁の数字の和＝偶数桁の数字の和
３５５３＝１１×３２３＝１１×１７×１９・・４桁で１１の倍数は奇数桁の数字の和＝偶数桁の数字の和