かける数とかけられる数

積分定数様
呑助＠深夜食堂様

先週土曜日に偶然このスレを読み、思わず日曜日に、ここともうひとつの同テーマのスレを全文読みました。私は文系だったので昔の高校数ⅡＢまでしか履修しておりませんので、コメントを投稿するなんてとても畏れ多いと思ってました。しかし、この1週間、「論理的な順序論者」ではなく「狂信的な順序教信者」という人が本当に世の中には存在するということを知るに至り、畏れ多くもコメントさせて頂きます（以下、「数学」の次元と言う話ではなく、「教育」という次元です）

今、私は愚息の小学校1年から4年までお世話になった破天荒な校長先生（23区の小さな公立小学校）に猛烈に感謝しています。独創的な施策を引かれる方で、父親集めて○盛りまでする先生です。この方の方針は「小学校は『読み書きそろばん』を徹底的に身に着けるところ」というもので、算数に関してはそろばんこそ無かったものの、週3回朝15分「10ます計算」「100ます計算」と九九のプリント、高学年になると比のプリントを徹底的に叩き込みます。そして、九九は三種類「上り九九」「下り九九」「逆九九」の徹底反復。
　　上り九九・・ににんがし　　にさんがろく　　の普通の九九
　　下り九九・・にくじゅうはち　にはちじゅうろく　　と、さがってくる九九
　　逆九九・・・九九の答えの数字が並んでいて、例えば「答えが２４になる九九を全部言え」
四則演算・九九を徹底的に「自分の武器」として使いこなせる状態に迄持っていくというもの。
愚息によれば「掛け算に順序があるとは習ったが、それで×をされた記憶は無い」とのこと。校長先生が「×にするな」と指示したのか、愚息が間違わなかったからなのかは今となっては検証のしようはありませんが、「四則演算・九九を縦横無尽に使える状態で、自由な発想で文章題や図形に取り組む」と言う状態のもとでは、少なくとも小学生には「式の順序」よりも「発想の展開」の方が大事ではないかと考えます。
その校長先生は4年で定年退職されましたが、九九のトレーニングは6年まで続きました。今、愚息は因数分解を履修していますが、逆九九はここでも効いています。


「魚釣りは鮒つりに始まり、鮒つりに終わる」と申しますが、お二方の論議は「鮒つりに終わる」方の「鮒つり」、つまりもっと奥深い数の世界を多数経験されてきた方による高尚な論議だと思っております。これからも勉強させて頂きます。

で、3×3はどうした？

逃がさねえぞぉ(笑)

ごめんなさい。今帰ってきてこれからビールを飲むところ。明日も忙しくて、夜は日食観察に備えて早く寝るので落ち着いたら、改めて書き込みます。

失礼します。

＞順序に関する素朴な疑問さん

態々丁寧な御挨拶をいただき　恐縮至極　である。

戯言を少しでも　お読みいただけたことに　感謝する。

算数教育について　評言を与へる　資格はないが　

御子息のお受けになった　九九の徹底反復訓練　

逆九九などは　初めて知ったが　

面白いし　当然のこと　有用であろう。

＞「小学校は『読み書きそろばん』を徹底的に身に着けるところ」

という考え方にも　首肯する所。


さて　狂信的な順序教信者　もいるのであろう。

然様な主張に　同調するつもりは　無い。

一方で　「数学的には」掛け算に順序はない　などと主張する　数学半可通もいる。

困ったものだ。

何度も申しているが

　数学的には掛け算に順序はない　というのは　大間違い。

主張したいのは　此れだけである。


今後ともよろしく。

＞かけうどん殿

＞自分が主張しているのは、掛け算の順序が必要なのは数学の世界だけ。
　でも皆が気にしているのは順序が必要のない単位付きの自然科学の世界だ、
　という矛盾を言っているのです。
　そして、その数学の世界でも碁石で示されるように、順序を問わない定義の
　仕方もあるだろう、と言っているのです。

まだ前にあるようだが　取り敢えず　これは拝見した。

一つづつ順に答える。

＞掛け算の順序が必要なのは数学の世界だけ。

「数学の世界だけ」かどうかは　分からんが　

　　　　Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＝Ｑ×５ 　で（日本ではそう）

　　　　Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＝５×Ｑ　 とはしていない。

　　　そうしていない以上　その体系では　５×Q　は　まちがいかどうか以前に　

　　　意味が　無い　のだよ。

と書いたのは　純粋に数学（現代数学）の話として　書いている。

＞でも皆が気にしているのは順序が必要のない単位付きの自然科学の世界だ、
　という矛盾を言っているのです。

気にしている　皆　というのが　誰（等）を指すのかわからんが　

スレ主が問題提起した問題　は　自然科学の問題　ではない。

もちろん　単位も　関係ない。　

（饅頭の個数の単位「個」が　あっても　なくても　議論は同じ）。

それは　一義的に　数学の問題だ。

＞そして、その数学の世界でも碁石で示されるように、順序を問わない定義の
　仕方もあるだろう、と言っているのです。

順序を問わない　掛け算の定義　ねえ。。

ない　とは言い切れんが。

人為的に　順序が見えないように　定義する方法は　ある。

（一般的ではない。）

フツーはまづ　Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＝Ｑ×５ として　

Q　が整数　のとき　Q×５＝５×Q　を示す。

もちろんこれは　順序を問わない掛け算の定義　ではない。

結果的に　交換法則が成立した　というだけのことだ。

理念的には　定義を見れば分かるように　順序に依存する。

碁石のように　長方形に並べる定義　も　同様。

数学的には　直積集合の元の個数　ということだが　

これも　順序に依存する。

（前に書いたが　

並べる段階で　タテ　と　ヨコ　を区別するからな。）

「２次元平面的に扱うと　なんたら」と　言い出したり

黒丸を矩形に並べた図を持ち出す　連中は　全然分かっていないらしいが。。

貴兄には　繰り返しになって　すまん。

あとは　後日。　

お待ちいただきたい。

段々暑くなってきますね。

さて演算に順番があるか？ですが結論をはっきりさせるため質問を追加します。

足し算にも順番はあるか？

２＾４（2の4乗）＝４＾２、これは正しいですね。

単位は数字の後ろに書くのを前に書いたらダメか？

話しをする人と聞く人がいて出てくる結論は順序（立場）を入れ替えてどうか？

節電×何か＝涼しい、解答募集します。

＞呑助＠深夜食堂さん

定数関数の件、返信お願いします。

常に１となる定数関数を　ｆ(x)＝１　とは表記しないの？

呑助＠深夜食堂 さん

ご返信有難うございます。

争点がまだ明確になっていないと思うので、コメントします。

① 現在数学の定義
Q+Q+Q+Q+Q=Qx5
はれっきとした定義であって、この点については議論の余地はありません。

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② 別の定義（碁石で例示される長方形状格子のマスを数える方法）
数学の長方形に縦、横の区別がありません。
仮に、縦から数えていくとか、横から数えていくとか、という風に縦、横を無理やり順序付けるのではなく、碁石に任意の順序(ランダムで良い）で数えていったときに、どんな順序で数え上げてもその個数が一定ならば、AxB=BxA という順序を気にしない定義ができるのではないか、と提案しているのです。
ここで、どんな順番で数えても一定になるのか、という部分は根源的なところで、加法の交換法則と同じような基本的なレベルで証明の出来ない公理的な内容であろうと直感的に感じています。残念ながら、自分の数学力ではここはこれ以上説明できません。

仮に②が成立しなくても、以下の③、④の議論には影響しません。

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③ 数学→自然科学への応用への移行の部分に曖昧な部分が多いという事

それが、単位のない数学と、単位のある自然科学との際立った違いがうまく融合されていないという主張です。

例１ 　10人の生徒がそれぞれ5本の鉛筆を持っています。鉛筆の総数は何本ですか？
　　5[本] x 10[人] = 50[本]　　　・・・＜１＞

数学では A x B ＝ C のA、B、Cとも単位のない数ですが、自然数学への移行のためにAに単位を許すという程度の事はまだ許されるかもしれません。定義から掛ける数は、Bは無単位でなければなりません。だから、
　　5[本] x 10 = 50[本]
と書かなければなりません。 　　　・・・＜２＞

ではなぜ通常＜１＞と書かせるのか？
これについては自分が小学生の時にも大いに疑問に感じたものです。
掛け算の順序を意識させるために、単位を記入させる。この瞬間に、数学の定義と矛盾が生じているのです。

例２　「・・・あたり」という表現

上の＜１＞で、両辺の単位の不一致を解消するために
5[本/人] x 10[人] = 50[本]　　・・・＜３＞
と単位を変化させて説明することが良くあります。つまり、「・・・あたり」という表現。こうなると掛ける数10の単位はますます消すことができません。

例３　速さ
速さ[m/h] x 時間[h] = 速さ[m]　・・・＜４＞
これは上の例２のテクの延長。
　こうなると、かける数は無次元にはなりえません。

　さらには
　E＝q/(4πεr^2)　　・・・＜５＞
　などとあったら、数学流には一つの変数を除いて、残りは全て無次元数でなければなりません。

つまり、数学から自然科学に移行する際に、単位による考察から、数学と離れた新しい演算順序のルールを作ったにすぎません

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④ 自然科学に登場する計算には順序がない、という主張
上の＜４＞式に登場する変数E（エネルギー）、ｑ（電荷）、ε(誘電率)などの間に本来順序関係はありません。、＜５＞式は’自然’に存在し、演算の順序は’自然’には存在しないのです。同様に、長方形の面積には、縦、横の区別は’自然’には存在せず、人間が勝手にどちらかを’縦’、どちらかを’横’と選んで呼称しているだけです。

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以上、数学と自然科学との違い、演算の順序を問題にしているケースの多くは単位が絡んでいる。ということをご理解いただけたでしょうか？
再度申し上げれば、数学の乗法の定義で順序が登場するのは、演算という体系の構築を容易にするための便宜にすぎないという主張です。