かける数とかけられる数

>この考え方が　
　数学的にはまちがい
という人がいるのだが　これが　大間違い。
>
私は数学的にどうのと言えるほどな知識はありませんので、これには何ともお答えのしようがありません。
ただ、呑助＠深夜食堂さんのおっしゃることは筋が通っているとは思います。
また、かけうどんさんの数学的なお話においても教えられることはたくさんあります（ありがとうございます）。

>3[個/人] x 5[人]＝15［個]　　　○　
>5[人]　ｘ　3[個/人] ＝15［個]　×　
>とするのはなぜでしょう？
>
それは、数学ではなく算数だからなのではないでしょうか？
小学2年生の算数においては、「かける数」「かけられる数」を意識させることを目的としているのでしょう。
そして、言い過ぎかもしれませんが、「かける数」「かけられる数」を意識させるために文章題というものが存在するのではないでしょうか？
>Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＝Ｑ×５
　とした以上　この段階で　５×Ｑ　には　そもそも　饅頭の個数という意味が　無い。
>
ということを教えるために。
つまり、求められる数が「個数」である以上、「かけられる数」は3個が正しいのでしょう。
国語的にもね(笑)
ということで、「数学的に正しいか？」はともかくとして、算数の文章題の答えとしては、
5[人]　ｘ　3[個/人] ＝15［個]　×
とするのが合理的なのでしょう。

ちなみに、5[人]　ｘ　3[個/人] ＝15［個]　×　
としたことで、交換法則が理解できなくなる子が実際にいるのでしょうか？

野球を始めたばかりの小学生に対してプロ野球のルールや練習方法を教え込むコーチなんていませんよね？
それと同じじゃないですか？
文句を言いたいお気持ちはわかりますが、子どもたちはそんな教えを引きずることはないと前向きに捉えてはいかがでしょう？m(__)m

＞「かける数」「かけられる数」を意識させることを目的としているのでしょう。

では、なぜ「かける数」「かけられる数」を意識しなければならないのでしょう？
ここが本質的な問題です。

Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＝Ｑ×５ ・・・①

と定義されていることと

3[個/人] x 5[人]＝15［個]

と書かなければならないことには、著しいギャップがあります。

①は乗法の定義、つまり導入部で登場した便宜的なことに他なりません。
だから、長方形に並べたおはじきの議論が止まないのです。

重要なのは単位を意識することであり、順序を意識することではありません。

3[個/人] x 5[人]＝15［個]　　　○　
5[人]　ｘ　3[個/人] ＝15［個]　○　

どちらも単位の揃った美しい式です。後者をバツにするのは、おかしい。

数学だろうと算数だろうと、そこには真理の美しさがあります。多くの子供たちが算数、数学に惹かれていくのはそこにあります。乗法の交換法則を理解し、これを応用していく。順序に拘るのは全く美しくない(美しいと感じるのは、大学レベルの非可換代数に触れてから）。

どうしても順序に拘るというのならば、2数の積の場合、どういう場合に順序を逆にしても良いか（たとえば長方形の面積）、③数以上の積の場合、どのようなルールを適用するのか、ということを教科書に明記すべきです。それが一度もなされたことがないのだから曖昧な導入だと申し上げているのです。


＞子どもたちはそんな教えを引きずることはないと

これは問題です。順序など気にせずに、算数の問題がどんどん解けるのに順序だけのことでバツにされて引きずる子もいるから、問題だと言っているのです。人は褒められることによって成長します。大人でもこれだけ曖昧な議論を繰り返すようなことで、「バツ」を与えてはいけません。

そうだ。数学は美しいのである。

酔っ払いやおばちゃんに美的感覚を求めてもムダであろう。

>では、なぜ「かける数」「かけられる数」を意識しなければならないのでしょう？
>
かけ算とは、「かけられる数」が「かける数」の分だけ足されるのだと理解させるためでしょう。

>Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＝Ｑ×５ ・・・①
>と定義されていることと
>3[個/人] x 5[人]＝15［個]
>と書かなければならないことには、著しいギャップがあります。
>
そうでしょうか？
3個入りの饅頭が5箱、全部で何個？という問題。
これは普通に考えれば、3+3+3+3+3ですから、3[個/箱] x 5[箱]＝15［個]ですね。
一方、5[箱] x 3[個/箱]＝15［個]という答えは、この定義に則れば、5+5+5と考えたということですね？
5+5+5と考えると言うことは、やっぱり、3個入りを5個入りにすり替えているのと同じではありませんか？
問題を無視して「かける数」「かけられる数」をすり替えているのです。
この考え方は美しくないと、私は思います。

そんなことはないとおっしゃるのであれば、
3個の饅頭を持った子どもが5人、饅頭は全部で何個？という問題において、
>5[人]ｘ3[個/人]＝15[個]
という答えの意味を日本語で答えてみてください。
この答えは、5+5+5という考えの元に出されていますよね？これは日本語で言うとどういう状況ですか？
3+3+3+3+3は、「3個の饅頭をもった子どもが5人」と、すぐに説明できます（問題文そのままですからね(笑)）。
同じように、5+5+5の意味について、問われていることを鑑みて、問題の趣旨を変えることなく美しい日本語でお答えください。

>順序に拘るのは全く美しくない(美しいと感じるのは、大学レベルの非可換代数に触れてから）。
>
順序に拘っているのではなく、「かける数」「かけられる数」をちゃんと意識させることに拘っているのでしょう。
「順序に拘っている」ということに拘ってしまうと文句をいいたくなっちゃいますよね？
それに、数学の美しさに触れるのは、数学を学び始めてからで良いのではないですか？

>人は褒められることによって成長します。
>
この考え方には反対はしませんが、褒めるだけで成長するとも思えません。
世の中にはルールがあること、そして、何事にも「基礎」があることはきちんと教えた方が良いと思います。

やっぱり、美しいしくないな。

ふふ・・・　さんが

＞5[人]ｘ3[個/人]＝15[個]
＞という答えの意味を日本語で答えてみてください。
＞この答えは、5+5+5という考えの元に出されていますよね？
これは、ふふさんが、掛け算の順序にこだわったからですよ。
この議論はナンセンスです。

速度ｘ時間＝距離
抵抗ｘ電流＝電圧 （電流ｘ抵抗＝電圧と書く人もいます）

かける数、かけられる数を考えるという事は、両方の数字に、順列（ヒエラルキー）を与えるとうことですが、
速度と時間、抵抗と電流、それぞれ独立した物理量なのに、なぜ、ヒエラルキーを与えなければならないのですか？

大人が単位付きの計算の順序のルールを明確にできていない、ないし、そういう類の議論だから、子供に基本を、というのがナンセンスなのです。

元になる数学では、スタート時点を除いて順序を気にしていないのですよ。

>では、なぜ「かける数」「かけられる数」を意識しなければならないのでしょう？
>
>かけ算とは、「かけられる数」が「かける数」の分だけ足されるのだと理解させる
ためでしょう。

そうだろうな。

これは　今まで　あんまり　テッテイしなかったらしい。（くわしく知らんが。）

だから　数学のスの字も分かっとらん　多数のアほうと　へっぽこ神さまが　
スーガクを語る　喜劇が　演じられている。

テッテイすべきか　テキトーにすべきか　俺は分からんが

言えることは

１。それほど　難しいことでもあるまい。

２。分かってない　アほウが　ウソ八百を並べたら　いかん。

>Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＝Ｑ×５ ・・・①
>と定義されていることと
>3[個/人] x 5[人]＝15［個]
>と書かなければならないことには、著しいギャップがあります。
>
>そうでしょうか？
>3個入りの饅頭が5箱、全部で何個？という問題。
>これは普通に考えれば、3+3+3+3+3ですから、3[個/箱] x 5[箱]＝15［個]ですね。
>一方、5[箱] x 3[個/箱]＝15［個]という答えは、この定義に則れば、5+5+5と考えた
>ということですね？
>5+5+5と考えると言うことは、やっぱり、3個入りを5個入りにすり替えているのと
>同じではありませんか？
>問題を無視して「かける数」「かけられる数」をすり替えているのです。

そのとおり。

コマカイが　１点だけ。

>これは普通に考えれば、3+3+3+3+3ですから、3[個/箱] x 5[箱]＝15［個]ですね。

これでも　まちがいでは　ないが　ここでの　正しい式は

　３個×５＝１５個

だろう。

サンスウでも　これを習うダンカイで　一箱当りの饅頭の数　とゆーのは　まだ

教わっとらん　のじゃないか？

それで　俺が　ナンドモ　ナンドモ　言うとるのは　この

　３個×５＝１５個

とゆーのは　サンスウ　として正しい　のはモチロン

現代スーガク　の　キホン的考え方に　ぴたと　ガッチしている　ということ。

>問題を無視して「かける数」「かけられる数」をすり替えているのです。

そのとおり。

>順序に拘るのは全く美しくない(美しいと感じるのは、大学レベルの非可換代数に触れてから）。
>
>順序に拘っているのではなく、「かける数」「かけられる数」をちゃんと意識させることに拘っているのでしょう。

数学にはクワシクないと　御謙遜されながら　きちんと分かってらっしゃる。

こだわる　というのは　気に入らんが

おっしゃる通り　大事なことは　掛け算の順序　ではない。

かける数　と　かけられる数　の区別　なのだな。

＞5[人]ｘ3[個/人]＝15[個]
＞という答えの意味を日本語で答えてみてください。
＞この答えは、5+5+5という考えの元に出されていますよね？
これは、ふふさんが、掛け算の順序にこだわったからですよ。
この議論はナンセンスです。

ちがうぜ。

かける数　と　かけられる対象　を　区別したからだよ。

かけられる数というから　どっちも同じ　だと　まちがうのだよ。