東大生正解率８％の問題

日本語の問題といえば、本題の一番引っかけポイントは、最後が「確率は？」となっているところではないですか？それゆえに、どうしても皆が最初に習う（今の親世代だと唯一習う）客観確率、頻度確率から離れられなくなるのでは。本問の場合、客観確率で答えは出てしまいますが、一部を変えてひねっていくと事後確率、主観確率の世界に踏み込むように思います。モンティ・ホールは確率という言葉を避けて、有利か’という言い方になっていますよね？。あれは事後確率の世界でありながら、実験によっても正しさをを確かめられる事例ではありますが。

私自身、客観確率と主観確率の違いを理解しているつもりではありますが、他人に上手く説明できません。ふふ・・・さんの疑問にも関係している’と思うので、専門家の方、わかりやすく説明願えないでしょうか。

感覚と事実が異なる例は何かないかと考えていた時、偶然の産物として意外な事実を発見したので、ご報告。


カジノでのルーレット

私は決して博打打ではありませんが、海外では合法カジノが結構ありますから、暇つぶしでプレイしたことがあります。

ルーレットの賭け方には偶奇を当てる賞金が2倍になるもの、一点賭けで36倍になるものの他に、3倍、6倍、12倍、18倍となる賭け方があります。

しかしながら、1-36の数字の他に0、00 (更に酷いものは000がある一方、00がない寛大なものもあります）ので、期待値は負になり、長い目で見れば、カジノ側が必ず勝利するわけです。

0, 00 式の場合、期待値は －(賭け金)ｘ2/(36＋2)になります。

プレイの回数が増えるほど、期待値的にはプレイヤーは負けを重ねていくわけで、私の予想としては、50回、100回と繰り返していくと、プレイヤー側が結果的に勝利する確率はほぼ0に近づくだろうと予想しました。

しかしながら、EXCELを使って試算すると、予想外の事が。

・一点賭け(＝倍率36倍)に限定し、毎回同金額を賭ける前提で178回プレイすると、手持ちのお金が増える確率はなんと50.4%と算出され、50%を超えたのです！

・同様に一点賭けに限定し、毎回同金額を賭ける前提で144回プレイすると、手持ちのお金が増える確率は33.0%、しかし、143回ならば52.1%となり、たった一回の違いで大差がでます。これは、144=36x4という所に起因しています。143回ならば、4回当てれば勝ち. 144回ならば、4回当てたときは勝ち負けなし、勝つためには5回勝つ必要があるため、お金を増やしてカジノを出ることができる確率がぐっと減るという理屈です。

・極端なところでは、倍率3倍となる賭け方にたった2回だけ賭けると、持ち金が増える可能性は53.2%！ さっと賭けて、さっさと帰りますか！

・36倍賭けの場合、最終的に勝つ確率が50%以上となるプレイ回数でもっとの大きいものは179回。18倍賭けの時、89回、12倍賭けの時59回、6倍賭けの時23回、3倍賭けの時5回、2倍賭けの時は常に50%未満。

でも当然のことながら、このような倍率、プレイ回数の組み合わせが必勝法かといえば、勿論そんなことはありません。そのような組み合わせでは、勝っても平均的に儲けが少ないか、負けたときの被害が多くなります。どんな組み合わせでも、

期待値＝ － (プレイ回数）ｘ2/38

から逃れることはできません。

・さて、3倍賭けで2回だけプレイする場合を手計算で確認してみましょう。
3倍賭けで当たる確率ｐは12/(36+2) 。 毎回の賭け金を１とすると

A: 勝・勝 確率＝pxp 、 3x2-2=＋4 → 勝ち
B: 勝・負 確率＝px(1-p) 3x1-2=＋1 → 勝ち
C: 負・勝 確率＝(1-p)xp 3x1-2=＋1 → 勝ち
D: 負・負 確率＝(1-p)x(1-p) －２ →負け

よって、勝手帰れる確率はA, B, Cを足してpｘ(2-p)≒0.532 となります。

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参考：倍率BにつきM回プレイ後に持ち金が増える確率
Σ<i=k to M> [(q/B)^iｘ(1-q/B)^(M-i)Comb(M,i)]
q= 36/38、
Comb(M,i)：M個からi個を選ぶ組み合わせ
k： M/B より大きい最小の整数

東大院卒さん

「例えば、こう考えたら､､､」と別の話をもってくると、余計に（余計な?）「解釈」が入ってややこしくなるので、ストレートにいきませんか?

私の質問の主旨は以下のとおりです。

まず、東大院卒さんのこのお答えは理解できます。

＜もとの問題＞
左側から見たのが兄または姉
上から見たのが弟または妹
＿｜日月火水木金土にげかすもきど
日｜○○○○○○○●●●●●●●
月｜○－－－－－－－－－－－－－
火｜○－－－－－－－－－－－－－
水｜○－－－－－－－－－－－－－
木｜○－－－－－－－－－－－－－
金｜○－－－－－－－－－－－－－
土｜○－－－－－－－－－－－－－
に｜●－－－－－－－－－－－－－
げ｜●－－－－－－－－－－－－－
か｜●－－－－－－－－－－－－－
す｜●－－－－－－－－－－－－－
も｜●－－－－－－－－－－－－－
き｜●－－－－－－－－－－－－－
ど｜●－－－－－－－－－－－－－
答えは（○／（○＋●）=13/27

ですが、東大院卒さんの考え方でいくと
＜もとの問題＞の解を

＜もとの問題＞
左側から見たのが『斎藤さんが「いる」と言った子（日曜日生まれの女の子）』
上から見たのが『もう一人の子』
とした場合には、考え方としては東大院卒さんおっしゃるところの
（問題４の）
左：顔を合わせた子（日曜日生まれの女の子）
上：もう一人の子
と同じになり、答えは1/2になります。

もとの問題は何故、
・左：兄または姉
・上：弟または妹
であって、
・左：（斎藤さんが「いる」と言った）日曜日生まれの女の子
・上：もう一人の子
ではないのか?

問題４は何故、
・左：（顔を合わせた）日曜日生まれの女の子
・上：もう一人の子
であって、
・左：兄または姉
・上：弟または妹
ではないのか?
（しつこいですが、顔を合わせた子が姉か妹かには言及していません）

その判断基準（もとの問題と問題４の解釈の仕方の違い）を明確にお答えいただけるとありがたいです。
今、私が理解している違いは、
もとの問題：斎藤さんが「いる」と言った
問題４：顔を合わせた
でしかないのですが、その違いで「もう一人の子が女の子である確率」が変わるということでしょうか?
（斎藤さんがウソをついてる可能性を勘案しなければいけないとか?でも、そうしたら13/27でもなくなってきますけどね　笑）

東大院卒さんが「斎藤さんが言った と 顔を合わせたでは確率は変わって当然！」とおっしゃるのであれば、それはそれで受け入れます（私が納得するかどうかは別として）。

よろしくお願いします。

東大工３人目さん

ありがとうございます。

>当然、（改題－甲）では、もう一人が日曜日生まれの女の子かもしれませんから、答えは13/27です。
>
なるほど。

では、

問題４．斎藤さんの家に伺った際、女の子がいました。
その子は斎藤さんの娘さんで日曜生まれだそうです。
斎藤さんにはもう一人お子さんがいるとのことです。
さて、斎藤さんのもう一人のお子さんも女の子である確率は?

当然、（問題４）では、もう一人が日曜日生まれの女の子かもしれませんから、答えは13/27です。
という答えでよいのすよね?
姉か妹かにも言及していませんし。

ありがとうございました。
さて、東大院卒さんはどう思われますか?

何度問題文を読んでも、曜日が関係するという根拠が理解できません。

二人とも日曜日生まれである事は、否定してありません。

ふふ・・・さんへ

東大院卒さん ではなくて恐縮ですが、

問題文を数学的な書き方に整理して考えて見ます。

＞斎藤さんには二人の子供がいる。
＞日曜日生まれの女の子はいるかと聞くと、いると言う。
を以下のように書き換えました。
「斎藤さんの二人の子供のうち一方は日曜日生まれの女の子であるか、
　または、もう一方は日曜日生まれの女の子である。
（二人とも日曜日生まれの女の子である場合も含まれる。）」

ここでポイントは、こどもが二人いるということ。
姉がいるのか、妹がいるのか、双子なのかは関係なく、
一方が日曜生まれの女の子またはもう一方が日曜生まれの女の子である場合の
それぞれ二つの事象の両方の可能性を合わせて確率を論じていることです。

一方のこどもが日曜生まれの女の子である場合に
もう一方も女の子である確率は、
おっしゃるように１／２で間違いありません。
これは東大院卒さんの表の左端列（または上端行）の確率で
７／１４＝１／２ですが、これは一方の可能性のみで、
全体としての可能性はこれだけでは決まりません。

もう一方のこどもが日曜生まれの女の子である場合、
これは東大院卒さんの表の上端行（または左端列）の確率で、
これも当然１／２になりますが、

この二つの事象を組み合わせて全体としての確率を考える場合、
二人とも日曜生まれの女の子である場合の数を
ダブルでカウントしてしまってはいけません。
この場合を１つにカウントすると、
全体としての確率は１３／２７になるわけです。

注意点は、片方が日曜生まれの女の子という事象（Ａ）が
どちらかが日曜生まれの女の子（Ｂ）に含まれていることです。
これを数式で書くと
Ａ⊇Ｂ　であって、Ａ＝Ｂ　ではありません。
言葉だけで考えるとＡ＝Ｂと錯覚してしまうことが
誤解が生じる要因になっているということかと思います。

>客観確率と主観確率の違い

>感覚と事実が異なる例は何かないかと考えていた時

感覚と事実
客観確率と主観確率

「斎藤さんが言った」は、感覚であり客観確率
「顔を合わせた」は、事実であり主観確率

なるほど。
だから確率が異なるのは当たり前だということでしょうか?

でも、問題４では
「問題４．斎藤さんの家に伺った際、女の子がいました。
その子は斎藤さんの娘さんで日曜生まれだそうです。
斎藤さんにはもう一人お子さんがいるとのことです。
さて、斎藤さんのもう一人のお子さんも女の子である確率は?」
と言っているので、
家にいた子は「斎藤さんの娘さんで日曜生まれ」というのも
斎藤さんが言ったことでしかないのですけどね。

すみません
下から６行分を訂正です。

片方が日曜生まれの女の子をＡ
もう片方が日曜生まれの女の子をＢとした時
Ａ→Ａ∨Ｂ（ＡならばＡまたはＢ）は成り立ちますが、
Ａ∨Ｂ→Ａ（ＡまたはＢならばＡ）は必ずしも成り立ちません。

言葉で書くと、ついＡ＝Ａ∨Ｂのように錯覚してしまうことが。
誤解が生じる要因になっているということかと思います。