「世界のナベアツ」ってスゴイかも｜掲示板スレッド

一応、解いてみました。
（問１）
100÷3=33･･･1
3の倍数は33個。
100-9×9=19
3のつく数は19個。
3の倍数でかつ、3のつく数は3,30,33,36,39,63,93の7個。
33+19-7=45
よって、アホになるのは、45回。


（問３）
3のつく数の割合は、1-(0.9のn乗)なので、数える数が極めて大きくなると、1に近づくことから、アホになる割合も1に近づく。
※1から10のｎ乗まで数える場合

これは、例えば何万桁もあるような大きな数を考えれば、一度も3が出てこないことは滅多にないというのをイメージすれば感覚的に分かりますね。

（問２）
10000÷3=3333･･･1
3の倍数は3333個。
10000-9×9×9×9=3439
3のつく数は3439個。

1000÷3=333･･･1
333+1=334
1の位に3のつく3の倍数は334個。

3が4個つく3の倍数は3333で、1個。

3×4=12
3が3個つく3の倍数は12個。

100÷3=33･･･1
33+1=34
(34-7)×4C2=27×6=162
3が2個つく3の倍数は162個。

334×4-162-12×2-1×3=1147
3の倍数でかつ、3のつく数は1147個。

3333+3439-1147=5625
よって、アホになるのは5625回。

１から１０のn乗まで数える場合
アホになる回数＝１０のｎ乗－９のｎ乗×2/3－１

これは、０から９までの数字から３を除くと、３で割った余りが0,1,2となる数がそれぞれ３個ずつになることより証明できそうですね。

＞１から１０のn乗まで数える場合
＞アホになる回数＝１０のｎ乗－９のｎ乗×2/3－１
＞これは、０から９までの数字から３を除くと、
＞３で割った余りが0,1,2となる数がそれぞれ３個ずつになることより証明できそうですね。
完璧ですね。
３を含まないｎ桁の０以上の整数が９のｎ乗[個]あり，その中で，十の桁以上の数の和に
一の桁の数を加えた数を３で割ったとき，割り切れなければ３の倍数ではありません。
十の桁以上の数の和に一の桁の数を加えた数を３で割ったときの余りは，
一の桁の数が(０，６，９)，（１，４，７），（２，５，８）の三つの群で
一つずつ異なるので，３で割り切れないのは全体の６/９＝２/３となります。
この中には，３で割り切れる０はもともと含まれていませんが，
３で割り切れない１０のｎ乗が含まれていないので，３で割り切れない数は，
９のｎ乗×２/３＋１になります。
したがって，アホになる回数＝１０のｎ乗－９のｎ乗×２/３－１ です。
実際にアホになる回数を，１０，１００，・・・，１億，まで計算すると，
3/10
45/100
513/1000
5625/10000
60633/100000
645705/1000000
6811353/10000000
71302185/100000000
となって，アホになる割合はしだいに大きくなります。
101桁の数である10の100乗まででは，アホになる回数は9.9998229240074･･･×10の99乗[回]で，
割合は0.99998229240074･･･となります。
３がまったく使われていない数の割合は，桁が大きくなると激減して，ほとんどの数でアホになります。
もうすこし簡単な問題としては，下のような問題の類題が出題されたことがあります。
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旅館の部屋はどの階も１フロアに５０室あり，１階の東側から順に部屋番号がつけられていて，
５１番目の部屋は２階のいちばん東の部屋，１０１番目の部屋は３階のいちばん東の部屋です。
部屋番号に空き番号はありませんが，部屋番号には４と９は使われていません。
つまり，３号室の隣は５号室，８号室の隣は１０号室，３８号室の隣は５０号室，
３８８号室の隣は５００号室です。５６７号室は何階の東側から何番目の部屋ですか。
階の呼び名には，４階も９階も使われています
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面白そうなので、また解いてみました。
８進法を使えばよいのでしょうか。
６４×４＋８×５＋６＝３０２
（答）７階の東から２番目の部屋

＞旅館の部屋はどの階も１フロアに５０室あり，１階の東側から順に部屋番号がつけられていて，５１番目の部屋は２階のいちばん東の部屋，１０１番目の部屋は３階のいちばん東の部屋です。
＞部屋番号に空き番号はありませんが，部屋番号には４と９は使われていません。
＞つまり，３号室の隣は５号室，８号室の隣は１０号室，３８号室の隣は５０号室，３８８号室の隣は５００号室です。
＞５６７号室は何階の東側から何番目の部屋ですか。
＞階の呼び名には，４階も９階も使われています

はい，正解です。
この問題は，２５６＋４６で，暗算ができる部屋番号ですが，
たとえば，８８８号室は？・・・・・・・隣は１０００号室です。
ところで，この問題の類題というか，もともとの問題は，
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あるホテルには部屋が５００室あります。
４と９の数字は使わずに１号室，２号室，３号室，５号室，・・・
と順に部屋に番号をつけていくと５００番目の部屋は何号室になりますか。
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麻布中学校１９９４年出題です。

中数直前点検でもとりあげられましたね。私もいろいろ想定問題つくって遊んでしまいました。