分数の割り算をタイル図で説明する｜掲示板スレッド

こんばんは
分数÷分数をタイルで説明するとなると
こんなのはどうでしょうか。
例えば、幅が1/2cm　高さがわからないタイルがあるとします。
そのとき、タイルの面積は3/4cm2だったとすると、タイルの高さは
何センチ？
という問題で考えてみてはどうですか。
これは、分数の計算では
3/4÷1/2＝タイルの高さ
となります。

この式がわからないときは、
面積を求める式を作ってみてください。
3/4＝1/2×高さの式になります。
これをタイルを使って考えると
①まず、横が1cmで面積が3/4cm2のタイルを考えると
高さは3/4cmになりますね。
②次にこのタイルを、面積が変わらないように注意しながら
幅が1/2cmになるように分けて（つまり割って！）高さ方向に重ねます。
そうすると、幅1/2ｃｍ、高さ3/4+3/4cmのタイルが出来ますよね。
これが、面積3/4cm2を幅1/2cmで割って求めたタイルの高さになります。
つまり、3/4+3/4cm＝6/4cmで約分して3/2cm
3/4÷1/2＝3/2となるわけです。
これを感覚で理解するのは大人でも難しいですね。
なので、理解するのとは別に分数で割るときは分子と分母を
逆にした分数をかけることを別に覚えておいた方がいいですよね。
お役に立てたでしょうか。
わかりづらい説明で申し訳ありませんでした。

「おりがみで学ぶ図形パズル」という本があります。
その中で、3/4×2/3（P78）という問題があるのですが、
折り紙を縦に四等分、横に３等分して出来たマス目で分数を視覚的に理解する方法です。
折り紙全体を１（面積）と考えて理解していくものです。
マス目はタイル代わりになると思います。
一度読んでみてください。

埼玉に住む5年の父です様　

そうか！
たて　Ｘ　横　＝　面積
面積　÷　横　＝　たて
で、面積を横（1/2）に合わせて、たて（商）を読み取るのですね！


本様

ご紹介くださった本、アマゾンでとりよせて読んでみます！


おふたりともありがとうございました。
子供の板書ノートが読み取りにくく、困っておりましたが解決しそうです。
お礼が遅くなり申し訳ありませんでした。

現在の日本の教育方針は、初期段階で本質を隠蔽し、後に本質を教えると
いう傾向が見られる。本質は難解であるから、初期段階では隠蔽した方が
理解しやすいとの配慮であろうが、全くの見当違いである。

初期段階でゴマカシの理解を植えつけられてしまっては、後に本質を教え
ようとしても簡単には移行できないのである。初期段階から本質を教えた
ほうが、後々のためにも遥かに合理的である。

例えば割り算の本質は「分ける」ではなく「大きさを比べる」なのである。
分母を「１」としたとき、分子はいくらに当たるのか。「大きさを比べる」
が本質であり「分ける」というのは間違った考えなのである。「分ける」
という考えは分数・少数の出現により、即座に破綻する。
また何を「１」として大きさを比べているのかという本質も掴めなくなる。

「分ける」 では分数・少数の割り算は理解不能である。１．２３／４．５６で
１．２３を４．５６に「分ける」とはどういう事か。また通分とは何を「１」
として大きさを比べているのか、基準となる数を同じにすることである。
基準となる数が同じになっていなければ足し引き不可である。通分も「分ける」
では理解不能である。

また、数学で「割り切れない」と言いながら理科で「割り切れない」とすると
不正解になる。「分ける」という考えは百害あって一利なし、後々まで悪影響を
及ぼす、全くの「害算」である。割り算のイカサマこそ理数嫌いへの第一歩なの
である。あくまで「分ける」で押し通すのであれば、分数・少数は一切教えるべきではない。

割り算が最初に導入されたのは小学校２年次だと記憶しているが、それから小学校６年次で
ようやく「大きさを比べる」が導入される。しかしこれでは手遅れである。それまで散々
「分ける」という考えが浸透してしまっているため簡単には移行できないのである。やはり
小学校２年次の段階で最初から「大きさを比べる」とするべきである。

ところで、ジブリのアニメ映画「おもひでぽろぽろ」では主人公が割り算のイカサマに
悩む場面があり、大変印象的であった。最初から「大きさを比べる」とすればこんなこと
で悩まずに済んだはずであるが。

初期段階で本質を隠蔽することに何の意味がある。
初期段階から本質を教えてこそ真の教育の姿であると言える。

初期段階から本質を教えていたら、子供を混乱させるだけになりますね。
　
で、タイル図ではありませんが、分数の割り算を理解させるのに、こんな方法を。
６枚のおせんべいを２枚ずつ分けると、何人の子がもらえますか？　　６÷２＝３（人）
６枚のおせんべいを１／２枚ずつ分けると、何人の子がもらえますか？　　６÷（１／２）＝６×（２／１）＝１２（人）
６枚のおせんべいを２／３枚ずつ分けると、何人の子がもらえますか？　　６÷（２／３）＝６×（３／２）＝９（人）
１／２枚のおせんべいを１／６枚ずつ分けると、何人の子がもらえますか？　　（１／２）÷（１／６）＝（１／２）×（６／１）＝３（人）
　
本質はともかく、分数の割り算を逆数のかけ算にするという感覚は、これで掴めると思いますよ。

ケーキのほうがわかりやすいですよ。デコレーションケーキ（丸いの一つ）を一人分（ショートケーキの大きさ：1/8）で分けたら８人分。ハーフカットケーキ1/2なら４人分。

本質を追求する者さん
私も34年かけてこの結論にたどり着きました。
計算でひっくり返すのも、分母を1にする調整プロセスを踏めば、綺麗に表現できます。
また、少数で割ってなぜ数が増えるのかも、おのずと理解できます。
とはいえ、英語でもDivideで割るという言葉ですし、
割り算の本質が「1に対していくつか」、Per unitであるということは、
歴史的に十分理解されてこなかったのでしょう。
日常においては、分ける、という理解で事足りた面も多いでしょうし。

数学には、この問題をはじめ、ほかにもごまかされて説明していることが多いですよね。
暗記ではなく、もっと筋良く習えたのなら、数学も好きになったと思います。
本質を追求するものさんは、教師ですか？