なぜこう解くのか？　教えてください。｜掲示板スレッド

上の説明でも、ただ「割れる」とだけ書いてあるので、ややこしくなったのかも知れません。
この問題は、「割り切れる」または「商が整数」という条件で問われているはずです。

①５４０は３で何回割れるか？（割り切れるか？）
素因数分解すると、５４０＝２×２×３×３×３×５
よって５４０の中には３が３つあるので３回割れる。　←この考えが重要です
（３回割ったあと、２０÷３＝６・・・２　で「まだ割れるじゃないか」は違います。）

②５４０は６で何回割りきれるか？
５４０＝２×２×３×３×３×５
この中に２×３の組み合わせは２組出来ます。
よって２回割れる。
※こうすると、５４０は８（２×２×２）では割れない（商が整数ではない）ことが分かります。

③８×９×１０は６で何回割れるか？
以上より、８×９×１０＝（２×２×２）×（３×３）×（２×５）
で考えられたでしょうか？
この中に２×３の組み合わせは２組しかできません。
よって２回。


これを理解できると、スレ主さんが最初に書いた解説も何をやっているのかが分かってくると思います。

「１２で割る場合」は上記が理解できてからです。
１２はさすがに難関レベルでないと出てきませんし、難関志望でしたら逆に理解できていないのが問題です。
テキストで「素因数分解」の単元を見直すと、この類問が載っています。

あやふやで教えるのでしたら、塾講師や家庭教師に聞いた方がいいのかも知れません。

　私は子供に以下のように教えました。ご参考に。既に書かれている方と重複する部分も多々ありますが、ご容赦下さい。

　先ず、「1×2×…×100」を素因数分解したときに、「2×2×2」が何組含まれるかを調べれば良いということを理解させる。すぐに理解できなければ、簡単な例を出して、分子と分母に数字を並べて約分して行くと良いと思います。
　例えば、100より簡単な10で考えると、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10＝(2×2×2)×(2×2×2)×(2×2)×3×3×3×3×5×5×7。これを分子として、分母に「2×2×2」を1組、2組、…と並べて約分してみると、「1×2×…×10」は「2×2×2(＝8)」で2回割り切れるが、3回目で割り切れなくなることが分かります。

　次に、「1×2×…×100」を素因数分解したときに、2が何個含まれるかを調べます。ここで、1から各数の下に、その数に含まれる素因数2一つを○で表した表を作り、これを「串団子」と呼びました。（単なる思い付きで深い意味はありません。）ここでは1から10までの積の例を書きます。
　　　　　１　２　３　４　５　６　７　８　９　１０
　１段目　　　○　　　○　　　○　　　○　　　○
　２段目　　　　　　　○　　　　　　　○
　３段目　　　　　　　　　　　　　　　○
　これで、○(団子)の個数をどうやって数えるか、という問題に帰着し、視覚的に捉えることができます。
　１段目の○は周期2で現れるので、10÷2＝5　より、5個。
　２段目の○は周期4で現れるので、10÷4＝2 余り2　より、2個。
　３段目の○は周期8で現れるので、10÷8＝1 余り2　より、1個。
よって、○の総数は、5＋2＋1＝8(個)。○を3個で1組にすると、8÷3＝2 余り2　より、2組。つまり、2回割り切れるが、3回目で割り切れなくなる。

　ここで少し見方を変えると、２段目以降は、一つ上の段の○2個毎に○が現れます。例えば２段目の個数は、１段目が5個なので、5÷2＝2 余り1　より、2個。同様に３段目は、2÷2＝1　より、1個。これが解答の考え方です。

　因みに、上記２つの方法では、後者の方が計算の桁数が小さい分だけ優れているかな、と個人的には思いますが、どちらでも良いでしょう。（例えば、7の個数を調べる場合、前者では、7×7×7=343 で割るといった桁数の大きい割り算が必要になることもありますが、後者では常に7で割るだけで済みます。）
　蛇足ですが、このような問題は、最初に一度だけ100迄の串団子を大きな紙に書いてみると良いと思います。手を動かして書き上げた経験は中々忘れないものです。また、簡単な例から調べて、規則性を見付けて、計算に持ち込む、といった基本的な解決手順が自然と身に付きます。

　最後に、1から100までの積を12(＝2×2×3)で割る場合を考えます。これは、2の個数と3の個数を出して、「2が2個、3が1個の組」が何組できるか考えれば良いでしょう。
　「1×2×…×100」に含まれる2は97個でした。3の個数は、100÷3＝33 余り1、33÷3＝11、11÷3＝3 余り2、3÷3＝1　より、33＋11＋3＋1＝48(個)。2を2個で1組にすると、97÷2＝48 余り1　より、48組できますから、3の個数と同じ。従って、「2が2個、3が1個の組」は48組できます。よって、「1×2×…×100」は「2×2×3(＝12)」で48回割り切れるが、49回目で割り切れなくなります。

皆様、大変丁寧で分かりやすい解説で、ありがとうございました。

8であれ、12であれ、各々を素因数分解し、×素数の組み合わせが何個できるかが基本ですね。

応用を何問かやらせましたが、愚息はすべて正解を導き出せるようになりました。

大変ありがとうございました。