掛け算の順序｜掲示板スレッド

↑　答えの部分は　すべて　まちがい。

で

＞解釈は日本語の部分で、式には単位がない。どうにでも取れるので、正しく解釈していると
判断すればいいのです。これを意地悪く解釈して、間違っていると教えるから、
訳が分からなくなるのでしょう。考え方まで押し付けるのは、おかしいです。

「どうにでも取れる」というところが　まちがい。

では、第１問は
　「
　　『 ドライバーが100本 』
　　『 ３番ウッドが100本 』 (*)
　　　　：
　　『 パター　　が100本 』
　　と考えて、100×14　」
というのは、駄目なのですか？
.
*…「２番ウッド」は、あまり使われていないそうです。

■問題１　ゴルファーが１００人いて、全員が同じ組み合わせの１４本のゴルフクラブを
　持っています。ゴルフクラブは全部で何本ですか？

第１問とは　これですな。

この問題へのただしい答えは　やはり

１４×１００

であろうな。

サーヂン氏おたづねのような　考え方を敢えてする　のは　
この問題に対して　テキトーでない。

バツテンされても　文句は言えぬ。

なぜなら　問題で

＞同じ組み合わせの１４本のゴルフクラブ

と書かれている時点で　ゴルフクラブの中身が　捨象されている　からである。
それを　

＞ドライバーが１００本　３番ウッドが１００本　・・・　
　パター　　が１００本

と考えるのは　一旦捨象されたもの　を　具象化し直している　ことになる。

問題では　

具象化せずとも　普遍的に　成り立つ答えを　求めている

のであるから　それを具象化し直して考えたバヤイ

スベテの具象化のシカタに　よらぬ答えを出している　てふことまで言わぬと

考え方として　テキトーでない。

したがって　上のよーに考えて　１００×１４　とするのは　マチガイ。

お分かりイタダケただろうか？

これはある小学校の指導案で、「掛け算の正しい順序」を
教える方針の物です。
　http://www.pref.okayama.jp/uploaded/attachment/286.ｐｄｆ
　（ｐｄｆ を小文字に変えてください）
.
これの最後のページに「チャレンジ問題」があります。
　＞はこが４はこあります。
　＞どのはこにも，ちがうしゅるいの
　＞おかしが５こずつ入っています。
　＞おかしはぜんぶでなんこありますか。
　＞A さんは「４×５＝２０ ２０こ」
　＞と，考えました。
　＞A さんの考えをせつ明しましょう。
.
つまり、「
　　『 大福が　　 4個 』
　　『 最中が　　 4個 』
　　『 酒饅頭が　 4個 』
　　『 どら焼きが 4個 』
　　『 黄金芋が　 4個 』
　　と考えて、4×5　」
なわけですね。
.
お菓子だと、この様に考えることが「チャレンジ問題」であり、
他方ゴルフクラブでは「適当でない」となる。
その理由は何ですか？

>この問題がチャレンジ問題とされている意図は
>Ａさんのような考え方もあるが菓子の組合せなど考えず
>普遍的な答えを出す式が
>５×４＝２０
>であってそちらのほうがすぐれていることを理解できるところが
>挑戦的なのであろうと考える。
.
「５×４の方が優れている」などとは、そこには書いてありません。
.
もしわたしが小学生で、このチャレンジ問題の学校で掛け算をやった後に
転校して、新しい学校でこの考え方を披露したら
　「あなたは、掛け算の意味がわかってない」
と叱責されるわけですね。
.
算数って、そんな物なのでしょうか。

　算数という学問、そしてその親である数学という学問、その学問として考えて、ゴルゴ・サーディーンさんの考え方は非の打ちどころがありません。
　先生の方が、何かわけのわからない似非数学カルトにハマっていると断言して差し支えありません。
　ゴルフクラブだろうが人だろうが、算数的あるいは数学的にいえば、「物体」と一括りにできるし、そういう風に考えられるようになることが大切です。
　人、個、本、枚等々は助数詞という種類の言葉です。もちろん便利ですし、注意して使えば、理科や物理での単位と同様に使えます。

　100[本/人]×14[人]＝14[人]×100[本/人]＝1400本
　100[人]×14[本/人]＝14[本/人]×100[人]＝1400本

　こうして、[人]という助数詞的な単位は綺麗に消え、どちらも順序に関係なく、1400[本]で間違いなく、文句の付けようもありません。

　もちろん、こういう助数詞的な単位は落とし穴もあります。
　黒い碁石を以下のように並べたとしましょう。

●●●●
●●●●←こちらから見て3個
●●●●
↑こちらから見て4個

　こういう風に4個と3個の並びですね。掛け算してみると、

　4[個]×3[個]＝3[個]×4[個]＝12[個個]　？？

　碁石の数なら、12個となるべきですね。これは、こういう助数詞が単位としてだけではなく、物体の数という単位のない無次元の数だから、こういうことが起こり得ます。
　また「個」と「つ」と、同じ意味で見た目の表現が違うこともあります。

　ただ、これは面積として考えるなら、平方センチという考え方をうまく表しています。そういう方向へは、どんどん拡張して考えて行くべき所でしょう。

　助数詞の使い方について注意するのは、そういうことだけです。便利に上手く使えそうなときは、どんどん使えばいいですし、使わないほうがいいなら使わないまでです。
　道具は道具、いつでも使うわけではないですよね。

　大元のご質問に私としての基本的な考えはご説明しました。

　今度は算数教育の問題に触れてみます。

　掛け算の順序は九九でも同じ数が多数でることから、順序が自由なことに気が付くことも多いし、もちろんそれを否定することはありません。36が何種類にも分類されては、算数も数学も成り立ちません。

　さらに、掛け算や足し算の順序がどうでもいいことは、交換法則として、小学校で明確に教えることになっています。

　教える側の得手勝手、と言っては言い過ぎかもしれませんが、割り算まで考えると掛け算の順序があるべきとか、割られる数が割る数より小さいとき戸惑うから掛け算の順序があるべきとか、私にはまったくもって不合理な説明で、掛け算が順序可換と明白に教えた後でも、掛け算順序に固執したい人がいるのです。

　そういう人が偉い立場にいたり、教科書になくても、それを使った教え方を追記した教師用の指導書に、掛け算の順序を勝手に決めて、生徒に守らせるようしたりしています。

　教師の中には、それは不合理だと思っている人も多いのですが、偉い人やら周囲の圧力で、やむを得ず、そのように教えていることも少なくありません。

　他には、塾などもこのことには、教え方で困っているようです。算数・数学本来の正しさを取るか、学校のテストの点数を気にするか、難しい所です。

　そのため、あちこちで矛盾するような算数・数学問題が出題されます。あるときは掛け算順序を守らせたり、別の時は、掛け算の交換法則を問うような設問になったりします。

　掛け算順序はどっちでもいい、と基本的な理解は崩さないでおきましょう。
　そして、もしテストの点数を気にする必要があるときは、テスト問題がどうして欲しいか、少しだけ気にしてあげればいいです。この先、大学で学ぶとして、大学入試までは、数学に関わらず、受験テクニックといった、心ならずも、ちょっと嫌な面倒くさいこともしなければいけないときもあります。

　もちろん、そのときまでに、こういうくだらない話がなんとかなっていればいいのですけど。私も気が付いて、手が届くところは、微力を尽くしています。
　ゴルゴ・サーティーンさんも、正しい理解をされておられますので、そのお考えをどんどん周囲に伝えてみてください。

掛け算の順序に執拗にこだわるべきではない理由：

掛け算には順番が単純に決められるものと、どちらでもよいもの（と恐らく曖昧なもの）がある。

どちらでも良い例は、長方形の面積。縦と横は同等に扱われるべきものであるから。

「掛け算には順序がある」ので、全てルールに従うべきだと主張するのならば、

数学の厳密さを持って
①順序の定義付けを明文化すべき。特定の例をもって説明すべきではない。
②単に２つの数の掛け算に限らず、３つ以上の掛け算、その他の演算(例えば割り算）の複合になったときに、表現の明文化

がなされるべき。

そのようなルールがいかなる教科書にも登場しないのは、おそらく明確には定義できないグレーゾーンがあることと、そして何よりも実用性に欠けるからでしょう。