掛け算の順序｜掲示板スレッド

１４本のゴルフクラブを１０人が持っていたら総本数は１４×１０でまちがいありません。
１０×１４はまちがいです。けっこう分かっていない方が多いので驚きました。
呑助＠深夜食堂さんの説明は合っていますよ。

単位のおはなしが出ていました。１４本のゴルフクラブが１０セットとすると１４（本）×１０＝１４０（本）というのが数学的に正しい考え方です。（本）はあってもなくてもかまいません。このときすでに書かれておりますが１０×１４（本）＝１４０（本）とはしません。これは約束のようなものです。この式を正しいとしたら上の式が正しくない式になります。碁石のおはなしがありましたがこれも同じように考えて式を作ります。３（個）×４＝１２（個）ですから単位は考える必要はないのですが仮に考えても（個個）とは決してならないのです。御存知のようにこの計算から交換法則（数学ではよく可換性といいます）が導き出されるのです。はじめから順序がどちらでもよいのでしたら可換性を導くプロセスなど無意味になってしまいます。使って便利なときに使えばよいというお書き込みもあったように憶えておりますがそういうものではありません。使ってもおかしなことが起らないように数学の定義は不動に定まっているのです。第一使って便利なときに使うのではひとそれぞれちがった答になってしまうかもしれませんよ。

順序の定義付けを明文化すべきであるという御意見がありました。教科書で明文化されているかは知りませんがこれは簡単です。上に書きました例で掛けられる数と答が同じ単位であることにご注意下さい。こうして掛けられる数の右から掛ける数を掛けるのです。おそらく指導書には明記されているものと思います。「＞教える都合ではなく１４×１００と１００×１４は『数学的に』考え方としてちがう。」とお書きになった方がいらっしゃいますがその通りです。ここは区別するのが現代的な数学です。算数の指導方針もこの考え方に基づいていて決して奇異なものではありません。むしろたいへんはっきりしていて好ましいと思います。

３数以上の掛け算は２数の掛け算の繰り返しとして定義します。このとき（１４×２）×３は１４（本）のバナナが２皿あるものが３テーブルにあるという意味になります。単位の問題が起らないのはもうおわかりでしょう。学校でもこう指導すると思います。そして結合律（１４×２）×３＝１４×（２×３）を導くのですがこの右辺は次のように考えています。はじめに２（皿）に３が掛けられて２×３＝６（皿）。そしてこれが１４（本）に掛けられて１４×（２×３）＝１４×６＝８４（本）です。ここで最後の単位が（本皿）にならないのはおかしいからそうしないのではなくてそうなることに注意しておきます。もっと複雑な組み合わせのときどう指導されているかは知りませんが３数の場合はいま書いたようにきちんと指導されているはずです。割り算が混じっても考え方は同じです。

「掛け算には順序がある」ので、全てルールに従うべきだと主張するのならば、 数学の厳密さを持って
①順序の定義付けを明文化すべき。特定の例をもって説明すべきではない。
②単に２つの数の掛け算に限らず、３つ以上の掛け算、その他の演算(例えば割り算）の複合になったときに、表現の明文化がなされるべき。
とのことですが今まで書いてまいりましたように数学的には厳密に区別されております。小学生の教科書に厳密な定義が記載されているとは思いませんがそれを求めるのは無理と言うものではないでしょうか。こういうことがはっきりと教えられているのはたいへんよいことであると思います。フランスではこういうことは昔から厳格にされておりました。やっと日本も追いつき始めたのではないかと思っています。

＞１４本のゴルフクラブを１０人が持っていたら総本数は１４×１０でまちがいありません。
＞１０×１４はまちがいです。


そのような、解釈も可能です。


しかしながら、
１０人の人が居る。
１人当たり、１４本のゴルフクラブを持っている。
従って、
（１０人）ｘ（１４本／一人当たり）＝１０ｘ１４＝１４０本
何処が間違っているのですか？


（１４本／一人当たり）ｘ（１０人）
だろうが、
（１０人）ｘ（１４本／一人当たり）
だろうが、
一緒でしょ。

ゴルゴ・サーティーンさん：

　いくつかレスを返されてお出でのうち、どこでもよかったんですが、ここにレスしておきますね。

　助数詞は便利なものです。数字にある程度の意味を与え、文章表現を簡略や簡潔にもすれば、豊かにすることもできます。

　その上、算数や数学では、少々気を付ければ、理科や物理などで数字に付ける単位と同じに扱え、式の説明を簡単にしたり、また、四則演算で間違った計算をしない手助けにもなります。

　これは単純ミス防止ではなく、何と何が加減乗除できるのか、さらにはどれをそうすべきか考える手がかりになるという、もっと基本のところ、本質のところで非常に有用に使えると言うことです。

　さらに、助数詞は文章の意味が完全には分からなくても、どういう計算に持ち込んで答を出せばいいかを掴む上で、非常に便利です。
　ゴルフを全く知らなくても、つまり、ゴルファーとかクラブというのが何のか分からなくても、「100人」「14本（1人あたり14本 or 14本/人）」で、「ああ、どんな人かは分からないけど100人いて、何か棒のようなものが14本か。100人いて、各々が14本持つとか、一人ひとりに14本渡すとか、一人が14本作るとかということだねと分かります。

　それで、算数・数学的には、もう充分な理解ができたことになります。その状況をはっきり絵やイラストに描けなくても、充分なわけです。そうなると、さらに、人を箱に変えても、袋に置き換えても、なんら問題がないことも分かります。クラブという[本]で数える棒が、丸い何かで[個]でもいいわけです。

　もう代数的に書くことも、あるいは見やすく幾何学的に描くことも、自由自在にできます。
　しかも、[本/人]のように、助数詞をうまく使えば、掛け算で単位も同様に扱うと、答の数字と共に、きれいに[本]という単位として見た助数詞が残ってくれます。

　もちろん、そうなると掛け算の順序がどうであっても、14と100を掛ければ、100％間違いなく、全部の数が助数詞付きで分かることになります。助数詞を単位的にみて、掛け算操作をするなら、[人]と[本/人]の[人]が割り算的に打ち消し合って、[本]だけが確実に残るわけですから。

　ただ、学校の先生とどう付き合うか、受験で正解を理不尽にも不正解にされないためとか、ぐっとこらえてやらなければいけない「技術」も、いろいろあります。それは仕方がありません。こういう現状を何とかしようとしている人も少なくありませんが、残念ながら急にどうこうできるものではありません。

　ゴルゴ・サーティーンさんは、今回のご質問では数学的に完璧な解釈で考えておられ、正しく数学を理解する方向に行っておられることは間違いありません。算数や数学として正しい、ということは自信を持って、決して揺るがないようになさってください。

　その正しい理解と、他人や外の世界とつきあうのにどうするか。それは数学とは別の、個々人の信念や意志の問題です。その数学以外のことは、基本としてはご自身でお決めになられますよう。

掛け算の順序が明確に定義されてかつ容易に記述できると考えられている方に、次の問題を考えて頂きたいと思います。

①１辺が10㎝の立方体の表面積を式で表してください。
②抵抗に電圧６Vがかかり、電流5mAが流れているときの1分あたりの発熱量（カロリー）を単位を明示しながら式で表してください。

私なりの考えは週末に書かせていただきます。そこで、算数・数学・物理間での違いや実用上の問題を提起したいと思います。

[参考１]
算数の基本的な考え（ルール）として、
R1: a[単位A] x b ＝c[単位A]
R2: a[単位A/B] x b[単位B] = c[単位A]
R3: a[単位A] x b[単位B] = c[単位A] （これはR1,またはR2とみなす）

[参考２]
電圧＝電流ｘ抵抗
電力＝電圧ｘ電流
電力[Wワット]＝1秒あたりに発生するエネルギ-[Jジュール]
1カロリー＝4.184ジュール